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Regelungstechnik ist ein Teilgebiet der Automatisierungstechnik und eine Ingenieurwissenschaft, die die in der Technik vorkommenden Regelungsvorgänge behandelt. Ein technischer Regelvorgang ist eine gezielte Beeinflussung von physikalischen, chemischen, oder anderen Größen in technischen Systemen. Die Größen sind entweder möglichst konstant zu halten (Festwertregelung) oder so zu beeinflussen, dass sie einer vorgegebenen zeitlichen Änderung folgen (Folgeregelung).
Bekannte Anwendungen im Haushalt sind die Konstanttemperaturregelung der Raumluft (Heizungsregelung), des Bügeleisens oder der Luft im Kühlschrank. Mit dem Tempomat wird die Fahrgeschwindigkeit im Kraftfahrzeug konstant gehalten. Eine Folgeregelung ist im Allgemeinen technisch anspruchsvoller, beispielsweise die Kursregelung mit einem Autopilot in der Schifffahrt, in der Luftfahrt oder in der Raumfahrt.
Regelung bedeutet Messen der zu beeinflussenden Größe (Regelgröße) und ein kontinuierlicher Vergleich mit dem gewünschten Wert. Der Regler errechnet entsprechend der Abweichung eine Stellgröße, die so auf die Regelgröße einwirkt, dass sie die Abweichung minimiert und die Regelgröße ein gewünschtes Zeitverhalten annimmt.
Im Gegensatz zur Regelung fehlt bei der Steuerung die Rückkopplung der Ausgangsgröße auf den Eingang. Wenn aber bei der Kommunikation zwischen Mensch und Maschine auf Grund einer angezeigten Ausgangsgröße die Eingangsgröße verändert wird, so findet eine Regelung mit dem Menschen als Regler statt.
Ein gegebener dynamischer Prozess (Regelstrecke) lässt sich durch eine experimentelle Systemanalyse mittels geeigneter Testsignale und Messung der Systemantwort näherungsweise als mathematisches Modell ermitteln. Unter Beachtung der Regelkreis-Entwurfsstrategien erfolgt gegebenenfalls die Regelkreissimulation am Computer und nachfolgend bei der Inbetriebnahme der Praxistest des Regelkreises mit der Regler-Optimierung.
Der vorliegende Artikel ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Grundlagen der Systemdefinitionen, Entwurfsstrategien, Stabilitätseigenschaften, Systemanalysen und Berechnungsmethoden der Regelungstechnik.

Geschichte der Regelungstechnik

{| class="wikitable" style="center"
|- class="hintergrundfarbe5"
! colspan="3" style="text-align: center"| Tabelle der historischen Ereignisse der Regelungstechnik
|-
|- class="hintergrundfarbe5"
! Jahr || Forscher
Mathematiker ||Historische Ereignisse
|-
| 300
v. C.|| Ktesibios aus Alexandria
Philon von Byzanz || Wasserkanäle, Kombinierte Saug- und Druckpumpe, Wasserorgel, Wasserstandsregler
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|200
v. C. ||Vermutlich Archimedes||Mechanismus von Antikythera: Kalendarisch-astronomischer Zahnräder-Rechenmechanismus aus der Antike
|-
| 1. Jahr-
hundert || Heron von Alexandria || Heronsbrunnen Füllstandsregelung
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| ca. 1770 || Leonhard Euler || Differential- und Integralrechnung u. a. mit Differenzengleichungen, Wegbereiter der numerischen Berechnung, Eulersches Polygonzugverfahren, Euler-Gleichungen.
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| ca. 1780 || Pierre-Simon Laplace || Systembeschreibungen mit Hilfe der Laplace-Transformation, Laplace-Gleichung, Laplace-Operator.
|-
| 1782 || James Watt || Beginn der Industriellen Revolution, Konstruktion einer Dampfmaschine
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| 1788 || James Watt || Fliehkraftregler für Windmühlen und Dampfmaschinen
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| 1868 || James Clerk Maxwell || Systembeschreibung verschiedener Regler durch Differentialgleichungen
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| 1895 || Adolf Hurwitz || Stabilitätskriterium in Abhängigkeit vom Nennerpolynom, Hurwitzpolynom
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| 1922 || Nicolas Minorsky || Schiffsteuerung mit PID-Regelung bei der US-Navy
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| 1932 || Harry Nyquist || Stabilitätskriterium basierend auf der Ortskurve des Frequenzgangs
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| 1938 || Hendrik Wade Bode || Frequenzganganalyse (Bodediagramm)
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| 1942 || Ziegler / Nichols || Einstellregeln für P-, PI- und PID-Regler
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| 1942 || Norbert Wiener || Modelle der Prädiktion (Vorhersage), Modelle der Flugbahn von Flugzeugen; Automatische Zielsteuerung.
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| 1944 || Hermann Schmidt || Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in Deutschland an der TH Berlin-Charlottenburg
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| 1947 || Norbert Wiener || Schöpfer des Begriffs Kybernetik. Unter anderem wird hier der Rückkoppelungsmechanismus in technischen und biologischen Systemen untersucht. Ein weiterer grundlegender Begriff hierzu ist Kommunikationstheorie.
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| 1948 || Walter Richard Evans || Wurzelortskurve
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| 1955 || Heinrich Kindler || Erstes Institut für Regelungstechnik im deutschsprachigen Raum an der TH Dresden
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| 1957 || Winfried Oppelt || Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in der Bundesrepublik Deutschland an der TH Darmstadt
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| 1960 || Rudolf Kálmán || Kalman-Filter, Zustandsraumdarstellung
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| 1962 || Richard Bellman || Optimalitätsprinzip von Bellman Dynamische Programmierung, Bellman-Algorithmus
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| 1965 || Lotfi Zadeh || Fuzzy-Set-Theorie als unscharfe Mengenlehre entwickelt (University of California, Berkeley). In Japan als Fuzzy-Logik für Fuzzy-Regler (Controller) seit 1980er Jahren in industriellen Prozessen eingesetzt, in Europa seit den 1990er Jahren.
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| 1974 || Günther Schmidt || Erster deutscher Universalregler auf Mikroprozessor-Basis (Digitalregler) an der TU München (gemeinsam mit H. Birk)
|}

Historisch ausgeführte Regelungen

Das Prinzip der Regelung wurde schon von Mechanikern in der Antike angewendet. Nachgewiesen sind Einrichtungen zur Regelung von Flüssigkeits-Niveaus, die Ktesibios aus Alexandria und sein Schüler Philon von Byzanz erfanden. Ktesibios regelte den Wasserstand in einem Behälter, aus dem eine Einlaufwasseruhr mit Wasser versorgt wurde.12 Der Wasserzufluss von konstanter Höhe
herab ist gleichmäßig und erhöht die Genauigkeit der Uhr. Von Phylon ist eine Öllampe bekannt geworden (siehe Abbildung), in der das Öl automatisch auf gleichem Niveau gehalten wurde. Das konstante Ölniveau verbesserte den gleichmäßigen Brand der Flamme, ein Luxus, auf den man verzichten könnte und bei heutigen Öllampen auch verzichtet. Der Aufwand war aber klein, obwohl es sich um eine vollwertige Regelung handelte.
Danach wurde das Prinzip der Regelung erst wieder in der Neuzeit aufgegriffen. Im 17.  Jahrhundert entstand die erste Temperaturregelung, die der Niederländer Cornelis Jacobszoon Drebbel in einem Brutkasten für Hühnereier entwarf.3 1681 erfand der Franzose Denis Papin eine einfache Druckregelung für einen Dampfkochtopf durch Einbau eines Überdruckventils.
Der erste in Serie hergestellte Regler war der Fliehkraftregler, dessen Erfindung James Watt fälschlicherweise zugeschrieben wird (siehe Abbildung, oben). Der Fliehkraftregler wurde vorher schon an Windmühlen verwendet. Watt hat die 1769 von Thomas Newcomen erfundene Dampfmaschine im Jahr 1786 mit einem solchen Regler ausgerüstet. Für die neue Dampftechnik kam auch die aus der Antike bekannte Wasserstandsregelung mit Schwimmer durch den Russen Ivan Polzunov zur Anwendung. Der Schwimmer beeinflusste über ein Gestänge das Wasser-Einlassventil des Dampfkessels.
Die Technik der selbsttätigen Regelung blieb lange Zeit auf die Anwendung in Kraftmaschinen beschränkt. Eine erste Ausweitung erstreckte sich auf die Regelung von Größen in verfahrenstechnischen Prozessen, vor allem von Temperaturen, Drücken und Massenströmen. Nach dem Zweiten Weltkrieg entstanden die vereinheitlichten, vielfach einstellbaren elektrischen, hydraulischen und pneumatischen PID-Regler. Die pneumatischen PID-Regler werden in der Verfahrenstechnik bevorzugt, da von ihrer Hilfsenergiequelle Luftdruck keine Brandgefahr ausgeht.
In der jüngsten Vergangenheit hat sich die Anwendung der Regelungstechnik auf alle Gebiete der Technik ausgedehnt. Anstöße gaben die Ausweitung der Automatisierung, zum Beispiel mit Hilfe von Robotern, und die neue Weltraumtechnik. Die Regelungstechnik ist inzwischen eine Symbiose mit der Informationstechnik (sowohl Hard- als auch Software) eingegangen.

Definition Steuerung und Regelung

; Naturphänomen Regelung
Das Regelungsprinzip ist keine Erfindung des Menschen, sondern ein Naturphänomen.
* Beispiel Erdklima






* Beispiel: Biologische Systeme und Geologie

* Beispiel: 'Regelungsvorgänge der lebenden Natur



; Steuerung
Bei der Steuerung eines Prozesses liegt die Ausgangsgröße y(t) der Steuerstrecke als Folge der Eingangsgröße u(t) (Stellgröße) in einer offenen Wirkungsstrecke. Wenn keine fortlaufende Rückführung der Prozess-Ausgangsgröße y(t) auf die Prozess-Eingangsgröße u(t) durchgeführt wird, handelt es sich um eine Steuerung.
Greifen keine Störgrößen d_i(t) die Steuerstrecke an, arbeitet eine Steuerung bei gut bekannter stabiler Strecke problemlos. Sind die Störungen messbar, können sie durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden. Beispielsweise ist die Energiezufuhr für eine Heizungseinrichtung, bei der die Führungsgröße u(t) in Abhängigkeit vom Wert der Außentemperatur wirkt und damit den Raum aufheizt, eine Steuerung. Wird ein Fenster des Raumes zur kalten äußeren Umgebung geöffnet, wirkt eine Störgröße d(t), wodurch die Rauminnentemperatur sinkt.
; Definition Steuerung nach DIN ICE 60050-351:
Das Steuern, die Steuerung, ist ein Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgrößen, andere als Ausgangsgrößen aufgrund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeiten beeinflussen. Kennzeichen für das Steuern ist der offene Wirkungsweg, oder ein geschlossener Wirkungsweg, bei dem durch die Eingangsgrößen beeinflusste Ausgangsgröße nicht fortlaufend und nicht wieder über dieselben Eingangsgrößen auf sich selbst wirken.
Vorteile der Prozess-Steuerung
* Die Wirkungsabläufe sind leicht überschaubar.
* Bei Auftreten einer Störung kann manuell auf den Prozess eingewirkt werden.
* Es können kein instabiles Verhalten und keine schädigenden überhöhten Amplituden der Steuergröße durch falsch angepassten Regler auftreten.
* Eine besondere Messeinrichtung für eine Rückmeldung der Steuergröße y(t) ist nicht erforderlich.
Nachteile der Prozess-Steuerung
* Nur bekannte messbare Störungen können durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden.
* Die Steuerstrecke muss sehr gut bekannt sein, wenn eine Störungskompensation in gewünschter Weise wirksam sein soll.
* Es erfolgt keine Rückmeldung, ob die Führungsgröße u(t) durch die Ausgangsgröße y(t) erreicht wurde.
* Es besteht keine Möglichkeit, eine instabile Strecke zu stabilisieren.
Regelung
Im Gegensatz zu einer Steuerung eines Prozesses wird der tatsächliche Wert des Ausgangs der Regelstrecke, die Regelgröße, fortlaufend über einen Regler mit Soll-Istwert-Vergleich auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Das Vergleichsergebnis, die Regeldifferenz, nähert sich dabei trotz unbekannter auf die Regelstrecke einwirkender Störungen einem von den Eigenschaften des verwendeten Reglers abhängigen Minimum.
Entscheidendes Merkmal des Regelkreises ist die negative Rückkopplung (Gegenkopplung) der Regelgröße auf den Eingang des Reglers. Die positive Regeldifferenz e(t) ist die Differenz zwischen der Führungsgröße w(t) und dem Istwert y(t). Sie wird von dem Regler in einen Stellwert u(t) berechnet, der über die Regelstrecke die Regelgröße y(t), also den Istwert der Regelgröße, beeinflusst. Dadurch nähert sich entsprechend dem Zeitverhalten der Regelstrecke und des Reglers die Regelgröße der Führungsgröße an.
Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich des statischen und dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.
Vorteile der Regelung:
* Auftretende bekannte und unbekannte nicht messbare Störungen werden eliminiert.
* Eine größere Verstärkung kann die Regelstrecke schneller machen, solange keine Stellgrößenbegrenzungen und keine Instabilitäten auftreten.
* Für die Systemanalyse eines Regelkreises sind auch angenäherte Modelle der Regelstrecke ausreichend.
* Monoton instabile Regelstrecken können durch Einbindung in einen Regelkreis stabilisiert werden.
Nachteile der Regelung:
* Der Regelkreis kann durch ungewollte, z. B. durch Alterung und Verschleiß bedingte Parameteränderungen instabil werden.
* Genaue und schnelle Messungen der Regelgröße können kostenintensiv sein.
* Heuristische Optimierungsverfahren wie "Versuch und Irrtum" reichen bei anspruchsvollen Regelungen nicht aus. Qualifizierte Fachleute sind erforderlich.
Normen der Regelungstechnik
Die DIN 19226 für die Definition regelungstechnischer Begriffe ist nicht mehr gültig.
Die Norm IEC 60050-351 Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – Teil 351: Leittechnik legt Grundbegriffe der Leittechnik fest, unter anderen auch Prozess und Leiten. Sie ersetzt in Deutschland als DIN-Norm DIN IEC 60050-351 und die DIN V 19222:2001-09.
Nach DIN ICE 60050-351 lautet der Begriff für die Regelung wie folgt:

Grundstruktur des Regelkreises

Die Regelgröße y wird mit der Führungsgröße (Sollwert) w verglichen. Die Regelabweichung e = w – y_M wird dem Regler zugeführt, der daraus entsprechend der gewünschten Dynamik des Regelkreises eine Stellgröße u bildet. Das Stellglied ist meistens Bestandteil des Reglers, in Einzelfällen kann es ein separates Gerät bedeuten. Die Störgröße d wirkt meistens auf den Ausgang der Regelstrecke, sie kann aber auch auf verschiedene Teile der Regelstrecke Einfluss nehmen. Das Messglied in der Rückführung kann ein Zeitverhalten haben, das bei schnellen Regelstrecken zu berücksichtigen ist.
Für die gewollte Minimierung der Regelabweichung hängt die Polarität der Regelabweichung nicht nur von der Führungsgröße und den Störgrößen ab, sondern auch von der Wirkungsrichtung der Regelstrecke.
Eine positive Regelabweichung führt über die Verstärkung des Reglers nur dann zu einer positiven Zunahme der Regelgröße, wenn die Regelstrecke zur Reduzierung der Regelabweichung einen positiven Stellwert benötigt.
Handelt es sich bei einer Regelstrecke z. B. um eine Heizung, so führt ein positiver Stellwert zu einer steigenden Temperatur.
Handelt es sich bei der Regelstrecke z. B. um ein Kühlaggregat, so führt ein positiver Stellwert zu einer fallenden Temperatur. Ein solcher Fall ist in einem Blockschaltbild des Regelkreises durch eine Vorzeichenumkehr der Stellgröße zu kennzeichnen.
Aufgabe des Reglers
Die Aufgabe des Reglers besteht gewöhnlich darin, die Regelgröße der Führungsgröße möglichst gut anzunähern und den Einfluss von Störgrößen zu minimieren.
Eine der Regelstrecke nicht angepasste zu hohe Kreisverstärkung führt bei Regelstrecken mit Verzögerungsgliedern ab 3. Ordnung oder gar mit Totzeitverhalten zur oszillatorischen Instabilität. Bedingt durch das Zeitverhalten der Regelstrecke wird über den Soll-Istwert-Vergleich dem Regler eine verspätete Regeldifferenz zugeführt. Reduziert sich diese nacheilende Phasenverschiebung der Regelgröße des offenen Regelkreises um einen Wert kleiner als -180°, ergibt sich am Soll-Istwert-Vergleich anstelle einer Gegenkopplung eine Mitkopplung und der geschlossene Regelkreis wird bei einer Kreisverstärkung > 1 instabil.
Die Führungsgröße w(t) kann als fester Sollwert, als programmgesteuerte Sollwertvorgabe oder als kontinuierliches, zeitabhängiges Eingangssignal mit besonderen Folgeeigenschaften für die Regelgröße ausgelegt sein.
Typische Regelkreis-Entwurfsstrategie
Sie bezieht sich bei linearen Systemen durch differenziell wirkende Teilsysteme des Reglers auf die Reduzierung des Zeitverhaltens der Regelstrecke. Je geringer die Zeitverzögerungen der Regelstrecke sind, umso höher kann die Kreisverstärkung gewählt werden.
Eine hohe Kreisverstärkung macht den Regelkreis schnell, kann aber selten realisiert werden, weil die Stellgröße wegen Energiemangel oder natürlicher Anschläge nicht unbegrenzt wachsen kann. Eine geringere P-Verstärkung in Verbindung mit einer integral wirkenden Komponente des Reglers machen den Regelkreis für alle statischen Einflüsse zwar genauer, aber auch langsamer.
Das bei Regelstrecken höherer Ordnung unvermeidliche periodisch gedämpfte Einschwingverhalten der Regelgröße - als Funktion der steigenden Kreisverstärkung - wird durch den Begriff der Regelgüte definiert.
Regelkreis-Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen Systemen
Die Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen Systemen bezieht sich auf Modelle wie z. B. das Hammerstein-Modell, bei dem eine statische Nichtlinearität in Verbindung mit einem dynamischen linearen System zusammen wirkt. Das Verhalten unstetiger nichtlinearer statischer Regler in Verbindung mit linearen Regelstrecken kann mit dem Verfahren der harmonischen Balance behandelt werden.
Regler in Verbindung mit Regelkreisen mit nichtlinearen und linearen Komponenten lassen sich sinnvoll mit der numerischen Mathematik berechnen.
Zur Bestimmung des Systemverhaltens der Regelstrecke und des Reglers sind verschiedene Analysemethoden und mathematische Verfahren üblich. Die Grundlagen der mathematischen Behandlung der Regelungstechnik folgt in den nachstehenden Kapiteln.
Als einfaches, anschauliches Beispiel für einen Standardregelkreis soll hier die Regelung einer Raumtemperatur auf Grundlage einer Warmwasser-Zentralheizung und deren Gerätekomponenten dienen.

Beispiel der Heizungsregelung eines Gebäudes

Gasheizkessel, Ölheizkessel und Feststoffheizkessel gewinnen die Wärmeenergie aus der Verbrennung meist fossiler Brennstoffe und transportieren die Wärmeenergie über den Wärmeträger Wasser. Ein über eine Brennkammer erhitzter Heizkessel ist mit Hilfe einer Heizungspumpe an einen Warmwasserkreislauf mit Heizkörpern angeschlossen.
Die Wärmeenergie des Heizkörpers erwärmt die umgebende Raumluft durch Konvektion und Strahlung. Die Wärmeenergie mit dem Temperaturgefälle zwischen Heizkörper und Raumtemperatur fließt je nach Größe der Außentemperatur über die Fenster, Türen, Raumwände und Außenisolierung an die Außenwitterung ab.
Kommerziell werden zahlreiche unterschiedliche Heizkörperformen mit unterschiedlichen Wärmeabgabeverhalten bezüglich Konvektion und Strahlung angeboten. Die bekannteste ältere Heizkörperart ist der Rippenheizkörper aus Gusseisen.
Dezentrale Raumtemperaturregelung
Die an das Gebäude abgegebene Wärmeenergie ist durch die Differenz der Vorlauf- und Rücklauftemperatur am Heizkessel gegeben. Alle Heizkörper der Räume eines Gebäudes erhalten die gleiche meist nach der Außentemperatur gesteuerte Vorlauftemperatur. Die Heizkörper sämtlicher Räume sind mit Thermostatventilen ausgestattet.
Ziel ist das selbsttätige Halten der Raumtemperatur als Regelgröße auf einem gewünschten Sollwert. Am Thermostatventil wird die gewünschte Solltemperatur des Raumes eingestellt. Das Ventil verändert den Warmwasserstrom durch den Heizkörper und damit die Raumtemperatur. Der Sensor des Thermostatventils misst die aktuelle Zimmertemperatur $\backslash theta$ (Theta) und verändert die Ventilstellung.
In der vereinfachten grafischen Darstellung der Heizungsregelung eines Wohnhauses bedeutet die Funktion der Gegenkopplung, dass eine zu hohe Raumtemperatur über das Thermostat zum Schließen des Heizungsventils des Heizkörpers führt.
Das Thermostatventil ist eine Geräteeinheit und besteht aus dem Sensor, Regler und Aktor. Durch Drehen des Thermostates innerhalb des Bereiches einer Skala wird ein Temperatur-Sollwert vorgegeben. Die spezielle Flüssigkeit des Temperatursensors im Thermostatventil dehnt sich bei Erwärmung über die Temperatur der Raumluft aus und bildet den Istwert. Diese Dehnung wird direkt auf den Ventilhub als Stellgröße übertragen (Regler). Bei zu hoher Raumtemperatur verringert sich der Warmwasserstrom durch den Heizkörper und die Raumtemperatur sinkt.
Das Thermostatventil erlaubt keinen Eingriff auf den Regler und damit auf das zeitliche Regelverhalten. Durch die unmittelbare Nähe zwischen Messort und Heizkörper ergibt sich eine leicht zu regelnde Regelstrecke, so dass ein Thermostatventil problemlos bei verschiedenen Gebäuden für die Raumtemperaturregelung innerhalb eines Warmwasserkreislaufes eingesetzt werden kann.
Alternativ stehen auch geeichte Thermostate als eine kompakte Einheit in elektronischer Ausführung zur Verfügung, die auf das gleiche Ventil am Heizkörper wirken. Sie benötigen eine handelsübliche Batterie als Hilfsenergie.
Hauptregler für den Referenzwohnraum
Neben der dezentralen Temperatur-Regelung der Wohnräume mit Thermostatventilen ist bei modernen Heizungsanlagen ein Referenzwohnraum (auch Pilotraum, Führungsraum, größter Wohnraum) eingerichtet, bei dem ein zentraler hochwertiger Hauptregler über einen Raumtemperatur-Sollwertgeber und einen Referenzraum-Temperaturfühler die Vorlauftemperatur für den gesamten Warmwasserkreislauf des Gebäudes zentral vorgibt und die Referenzraum-Temperatur regelt.
Die Temperaturunterschiede zwischen den Heizkörpern und der kühleren Raumluft erzeugen Luftbewegungen (Konvektion) und zum geringeren Anteil Strahlungsenergie, die auf den Messfühler einwirken. Der Regler erhöht je nach Bedarf durch Einschalten des Brenners die Heizkörpertemeratur oder senkt sie gegebenenfalls durch Ausschalten des Brenners.
Für die Güte einer Regelung der Raumtemperatur sind auch die konstruktiven Raumbedingungen und Geräteanordnungen wie Heizkörper und Abstand des Messortes der Raumtemperatur maßgebend. Man kann nicht in einem langgestreckten Raum erwarten, dass durch einen Heizkörper mit dem im Abstand von 10 cm befindlichen Thermostat sich eine gleichmäßige Raumtemperatur über den ganzen Raum einstellt. Andererseits bedeutet ein großer Abstand zwischen Heizkörper und Messort der Raumtemperatur, dass sich eine größerer Signallaufzeit (Totzeitverhalten) bildet.
Üblich ist die Montage des Messfühlers im Referenzwohnraum an der gegenüberliegenden Wand der Heizkörperebene. Der Messfühler misst die Lufttemperatur, nicht die Innenwand-Temperatur. Die Heizkörper des Referenzwohnraumes erhalten keine Thermostatventile.

Darstellung der Signalbezeichnungen des Regelkreises

Anmerkung:


{| class="wikitable" style="width:680px;"
|- class="hintergrundfarbe5"
! style="width:25%;"|Bezeichnung
! style="width:5%;"|Aktuelle Zeichen
! style="width:5%;"|Zeichen nach DIN
! style="width:100%;"|Bedeutung allgemein und im Beispiel
(Raumtemperatur-Regelung mit Thermostatventil)
|-
| style="text-align: center; " |Regelstrecke || style="text-align: center; " |G_S(s) || ||
* Prozess, dessen Ausgangsgröße geregelt wird,
* Heizkessel mit Warmwasserkreislauf zum Heizkörper,
Raumlufterwärmung mittels Heizkörper.
|-
| style="text-align: center; " | Störgrößen || style="text-align: center; " | d || style="text-align: center; " | z ||
* Fremdeinflüsse greifen die Regelstrecke an,
* z. B. Außentemperatur, Fensterstellung (geschlossen bis offen), Sonneneinstrahlung, Wind, Niederschläge.
|-
| style="text-align: center; " | Regelgröße || style="text-align: center; " | y || style="text-align: center; " | x ||
* geregelte Prozess-Ausgangsgröße,
* z. B.: Raumtemperatur.
|-
| style="text-align: center; " | Messglied || || ||
* Ausführungen: Thermoelement, Wärmewiderstand, Druckmessdose, Kraftmessdose,
* Thermostat: Dehnstoffelement im Thermostatventil.
|-
| style="text-align: center; " | Messgröße || style="text-align: center; " |y_M || style="text-align: center; " |y_M ||
* Signal: elektr. Spannung oder Konstantstromquelle,
* Thermostat: Ausdehnung des Dehnstoffelementes.
|-
| style="text-align: center; " | Führungsgröße || style="text-align: center; " |w || style="text-align: center; " | w ||
* Dynamisches Signal als Eingangsgröße des Regelkreises (Stationär auch = Sollwert),
* Thermostat: Einstellwert auf der Skala.
|-
| style="text-align: center; " |Sollwert || || ||
* Bestimmter Wert der Führungsgröße,
zum Beispiel 20 °C.
|-
| style="text-align: center; " | Istwert der Regelgröße || style="text-align: center; " | y || style="text-align: center; " | x ||
* Allgemein ein stationärer Wert der Regelgröße,
zum Beispiel 21 °C (= Regelabweichung 1 °C).
|-
| style="text-align: center; " | Regelabweichung || style="text-align: center; " |e
= w - y || style="text-align: center; " |e
= w - x ||
* Eingangsgröße des Reglers.
|-
| style="text-align: center; " | Regler || style="text-align: center; " | G_R(s) || ||
* Arten: stetige, unstetige, analoge, digitale und speziell ausgeführte (z. B selbstanpassende) Regler,
* Thermostat: Dehnstoffelement.
|-
| style="text-align: center; " |Steuergröße || style="text-align: center; " | u || style="text-align: center; " | y ||
* Ausgangsgröße einer Steuerung,
* Position des Übertragungsstiftes am Dehnstoffelement (Übertragung auf das Ventil).
|-
| style="text-align: center; " |Stellglied || || ||
* Regler-Ausgangsgröße und Schnittstelle Regler / Regelstrecke,
* Thermostat: Ventil im Thermostatventil.
|-
| style="text-align: center; " |Stellgröße || style="text-align: center; " |u_R || style="text-align: center; " |u_R ||
* Ausgangsgröße des Reglers oder einer Steuereinrichtung,
* Thermostat: Stellung des Ventils (geschlossen bis offen)
|}

Definition Wärmeenergie

Umgangssprachlich wird die thermische Energie etwas ungenau als „Wärme“ oder „Wärmeenergie“ bezeichnet. Die thermische Energie E_th eines Stoffes ist definiert als

wobei c die spezifische Wärmekapazität, m die Masse und T die absolute Temperatur ist. Diese Definition setzt voraus, dass der Stoff sich innerhalb seines Aggregatzustandes befindet. Für Wasser gilt der flüssige Zustand im Temperaturbereich von 0₍₊₎ °C bis 100_(-) °C bei Normaldruck in Meereshöhe.
Eine Wärmezufuhr steigert die mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die thermische Energie eines Stoffes, eine Wärmeabfuhr verringert sie.
Kommen zwei thermische Energie-Systeme mit unterschiedlichen Temperaturen zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen durch Wärmeaustausch an. Diese Angleichung erfolgt so lange, bis keine Temperaturdifferenz zwischen den Systemen mehr auftritt. Diesen Vorgang bezeichnet man als Wärmeübertragung
Ohne zusätzliche Hilfe (Energie) kann niemals thermische Energie vom System niedrigerer Temperatur in das System höherer Temperatur überführt werden.
Der Wärmefluss oder Wärmestrom ist eine physikalische Größe zur quantitativen Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen.
Als Grenzfläche oder Phasengrenze wird in der Physik und Materialwissenschaft die Fläche zwischen zwei Phasen (hier Phase = räumlicher Bereich der Materie Zusammensetzung wie Dichte der homogenen Materie) bezeichnet. Als Grenzflächen werden die Flächen zwischen flüssigen und festen, flüssigen und flüssigen, festen und festen und festen zu gasförmigen Phasen bezeichnet.

Alternative stetige und unstetige Regelung

Zur Regelung der Referenzraumtemperatur bieten sich zwei Wege als stetige oder nichtstetige Regelung an:
Die Änderung der Außentemperatur ist in der Regel als statische Störgröße zu betrachten, weil das Zeitverhalten sehr langsam im Verhältnis zur Änderung der Vorlauftemperatur ist. Erst wenn die Änderung der Außentemperatur sich über die Außenisolierung und über die Masse der Gebäudewände am Messfühler des Referenzraumes bemerkbar macht, kann der Heizungsregler reagieren.
Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann konventionell meist über digitale Regler erfolgen, die an die Regelstrecke des Warmwasserkreislaufes angepasst werden müssen.
Häufig werden industriell gefertigte Heizungskessel mit digitalen Reglern mit Anwendung der Fuzzy-Logik ausgeführt. Die Grundidee der Fuzzy-Controllers bezieht sich auf die Einbindung des Expertenwissens mit linguistischen Begriffen, durch die der Fuzzy-Controller mehr oder weniger mit empirischer Methodik optimal an einen nichtlinearen Prozess mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen modelliert wird, ohne dass das mathematische Modell des Prozesses (Regelstrecke) vorliegt.
Vereinfacht ausgedrückt entspricht die Anwendung der Fuzzy-Logik der menschlichen Denkweise, Tendenzen des Verhaltens eines unbekannten Systems zu erkennen, vorauszusehen und dem ungewollten Verhalten entgegenzuwirken. Diese Handlungsweise wird in sogenannten „WENN-DANN-Steuerregeln“ einer Regelbasis festgelegt.
Verfahren der stetigen und unstetigen Regelung:
* Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen stufenlosen Regler erfolgen, der auf ein stetig arbeitendes Mischventil (Dreiwegemischer) wirkt, das bei Wärmebedarf auf den Heizkessel zugreift. Diese Form der Regelung wird häufig in Mehrfamilien-Wohnhäusern eingesetzt.
* Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen Zweipunktregler erfolgen.

Unstetige Regelung
Ein unstetiger Zweipunktregler ohne Hysterese hat Eigenschaften, die einer hohen Kreisverstärkung entsprechen. Ob sie voll genutzt werden kann, hängt von der Art der Regelstrecke ab. Dieser Regler eignet sich besonders für Regelstrecken, die in weiten Grenzen zur kontinuierlichen Leistungsanpassung im intermittierenden Betrieb (Ein- Ausschaltbetrieb) gesteuert werden müssen.
Das Verhältnis des maximalen zum augenblicklichen Wärmeenergiebedarf ist durch das Verhältnis der Einschalt- Ausschaltzeit gegeben:

Die Stellgröße des Zweipunktreglers bestimmt in Abhängigkeit von der Regelabweichung das Verhältnis der Ein- zur Ausschaltzeit. Die Reglerhysterese und Totzeitverhalten der Regelstrecke setzen die Schaltfrequenz herunter. Spezielle Rückführungen des Zweipunktreglers und Aufschaltung eines D-Anteils der Regelabweichung erhöhen die Schaltfrequenz.
Berechnung der Wärmeenergieflüsse
Das Verhalten der Wärmeenergieflüsse kann berechnet werden, indem durch ein Blockdiagramm mit einzelnen Funktionsblöcken das dynamische Zeitverhalten der Wärmeenergieflüsse an den sogenannten Grenzflächen (z. B. Brenner / Heizkessel, Heizkörper / Luft oder Innenwände / Außenwände / Außenwitterung) dargestellt wird. Die Funktionsblöcke entsprechen geeigneten mathematischen Modellen als System-Beschreibungsfunktionen.
Tag- und Nachtabsenkung der Raumtemperatur
Für die zur Energie-Einsparung mit Hilfe der sogenannten Tag-Nacht-Absenkung der Raumtemperatur ist das Speicherverhalten der Gebäudewände und deren Isolierung von entscheidender Bedeutung. Bei konstanter niedriger Außentemperatur und längerfristiger Raumtemperaturabsenkung ist das Energie-Sparpotential groß. Bei kurzfristiger Raumtemperaturabsenkung müssen anschließend die Gebäudewände wieder aufgeheizt werden, ohne dass sich ein stationärer Temperaturzustand der Grenzflächen im Mauerwerk mit Isolierung gebildet hat, der das Energiesparen möglich macht.4

Außengeführte Vorlauftemperaturbegrenzung

Der Wärmebedarf in Wohnräumen ist im sehr kalten Winter ein Mehrfaches höher als in der Übergangszeit Herbst und Frühjahr. Deshalb wird die Vorlauftemperatur des Heizkreises mittels einer Vorsteuerung über einen Regler in Abhängigkeit von der Außentemperatur begrenzt, damit große Überschwingungen der Raumtemperatur (Regelgröße) aber auch Wärmeverluste vermieden werden.
Die Heizkörpertemperatur wird gewöhnlich nicht gemessen, sie wird aus dem Mittelwert der Vorlauftemperatur und der Rücklauftemperatur am Heizkessel erfasst. Wärmeverluste der isolierten Rohrleitungen werden vernachlässigt.
Die Kennlinie der Begrenzung der Vorlauftemperatur des Heizkreises als Funktion der Außentemperatur lässt sich bei kommerziellen Anlagen einstellen und ist abhängig von der Klimazone. Die begrenzte Vorlauftemperatur muss jeweils etwas höher liegen, als der Wert, der für den Wärmebedarf des eingestellten Referenzraum-Temperatursollwertes erforderlich ist. Die Begrenzungsregelung der Vorlauftemperatur als Funktion Außentemperatur kann durch einen einfachen Zweipunktregler erfolgen.

Störgrößen des Heizungsregelkreises

Störgrößen der Raumtemperaturregelung sind Änderungen der Wärmeenergieerzeugung durch intermittierenden Betrieb, bei dem z. B. die Auswirkungen der Schwankungen des Gasdrucks (Gasheizkessel) oder Änderung des Brennheizwertes des Heizöles (Ölheizkessel) vernachlässigbar sind.
Kurzfristig angreifende Hauptstörgrößen auf die Raumtemperatur sind offenstehende Türen oder Fenster und die Sonneneinstrahlung im Fensterbereich.
Die Hauptstörgröße einer Gebäudeheizung ist der Einfluss der Außentemperatur. Die Änderung der Außentemperatur und der Einfluss von Wind und Niederschlägen sind wegen der Wärmespeicherfähigkeit der Gebäudemasse langfristig wirkende Störgrößen.
An Regelstrecken können Störgrößen an allen Teilregelstrecken angreifen. Kurzfristige Störgrößen zeichnen einen geringen Einfluss auf den Istwert der Regelgröße, wenn sie am Eingang der Regelstrecke auftreten. Den größten Einfluss haben Störgrößen an Regelstrecken, wenn sie am Ausgang der Regelstrecke auftreten.
Die Beurteilung eines linearen Regelkreises mit einem Führungsgrößensprung wird durch die Führungsgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.
Die Beurteilung des Störverhaltens eines linearen Regelkreises an einer linearen Regelstrecke wird häufig durch einen Störsprung mit der Störgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.
Stationäre oder sprungartige oder impulsartige Störgrößen im Regelkreis lassen sich in einem grafischen Signalflussplan durch eine Additionsstelle positiv oder negativ berücksichtigen.
Die dominanteste und in weiten Grenzen sich ändernde Störgröße der Regelstrecke einer Heizungsanlage ist der Wärmeenergie-Abfluss von der Raumtemperatur über die Gebäudewände zur Außenwitterung. Während der Einfluss einer Störgröße an einem beliebigen Regelkreis lediglich eine technische Information oder ein gefordertes bestimmtes Verhalten der Regelgröße anzeigt, bedeutet die Störgröße des Energieabflusses einer Gebäude-Temperaturregelung an die Außenwitterung ein Energie-Kostenfaktor erheblichen Ausmaßes.
Der Energieabfluss an die Außenwitterung ist unter normalen Betriebszuständen, d.  h. geschlossene Fenster und Türen, abhängig:
* von der Außenwitterung, wie Außentemperatur, Sonne, Wind und Regen,
* von der Güte der Gebäudeisolierung

* von der Größe der Referenzraum-Temperatur

* von der Größe der dominanten Zeitkonstanten der drei mathematischen Teilmodelle der Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur zur Außentemperatur.

Simulation eines Heizungsregelkreises mit Teilmodellen

Aufgabenstellung:
Berechnung des zeitlichen Verhaltens der mittleren Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur eines Referenzwohnraumes für die Raumtemperatur-Sollwertvorgabe von 5 °C auf 20 °C bei einer stationären Außentemperatur von -10 °C. Wind und Niederschläge sollen sich für diesen Vorgang nicht ändern.
Der Signalflussplan der Simulation der Referenzraum-Heizungsregelung zeigt die Beziehungen der Teilmodelle.
Datenvorgabe für den Heizungsregelkreis
Für eine überschlägige Berechnung des Regelvorgangs der Raumtemperatur im Referenzraum müssen Vereinfachungen und Zahlenwerte-Annahmen aus Erfahrungen getroffen werden. Folgende Daten werden gegeben:
* maximale Vorlauftemperatur: 80 °C
* Sollwert Raumtemperatur: 20 °C
* stationäre Außentemperatur: -10°C
* Abfluss der Wärmeenergie [°C], wird empirisch gemessen:



* Begrenzte mittlere Heizkörpertemperatur bei -10 °C Außentemperatur: 70 °C
* Gewählter stationärer Anfangswert der Raumtemperatur im Frostschutzmodus als Sollwert: 5 °C
* Berechneter stationärer Anfangswert der mittleren Heizkörperkörpertemperatur im Frostschutzmodus:


Definition der Teilmodelle anhand der geschätzten Datenvorgabe
Für den dynamischen Vorgang der Sollwert-Änderungen mit Bezug zur Heizkörpertemperatur, der Raumtemperatur und der Wärmeenergieabflüsse sind Anfangsbedingungen der Einzelsysteme zu berücksichtigen.
* Teilmodell 1: Wärmeenergieerzeugung vom Brenner zur Heizkörpertemperatur




* Teilmodell 2: Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur





* Teilmodell 3: Raumtemperatur zur Gebäudewand innen nach außen zur Außenwitterung






! $G(s)=\; \backslash frac\; 1\{500\; \backslash cdot\; s+1\}$
|}



! $Y\; =\; Y1\; +\; \backslash frac\; \{Y2-Y1\}\{X2-X1\}\; \backslash cdot\; (X-X1)$
|}

Grafische Darstellung der Temperaturwerte der Heizungsregelung

Aufgabenstellung
Anhand der Teilmodelle der Regelstrecke soll der grafische Verlauf der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur vom Frostschutzmodus zum Betriebszustand berechnet und grafisch dargestellt werden.
* Für die Berechnung von Übertragungssystemen oder die Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekanntesten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
* Alternativ können lineare Systeme numerisch mit Hilfe von Differenzengleichungen berechnet werden. Nichtlineare Systeme wie der Zweipunktregler lassen sich einfach mit Hilfe von WENN-DANN-SONST-Anweisungen berechnen. Eine Berechnungsfolge bezieht sich auf eine Kette von hintereinandergeschalteten Systemen, beginnend mit dem Eingangssignal und endend mit dem Ausgangssignal. Jede Folge k bezieht sich auf die diskrete Zeit k·Δt.
Zum besseren Verständnis werden zwei Diagramme mit dem statischen und dynamischen Verhalten von Teilmodell 3 dargestellt.
* Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte ohne Wärmespeicherung der Gebäudewände (Teilmodell 3 mit T = 0).
* Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte mit Wärmespeicherung der Gebäudewände (Teilmodell 3 mit T = 500 [Minuten]).
Kritische Beurteilung der Simulationsergebnisse
* Prinzipiell entsprechen die berechneten Zeitverläufe der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur realistischen Heizungsregelungen.
* Zuverlässigkeit der mathematischen Modelle




* Die Zeitkonstanten aller Teilmodelle sind geschätzt.
Grafische Darstellungen der Temperaturwerte
Zum besseren Verständnis werden die Regelvorgänge in 2 Diagrammen, statisch ohne die gespeicherte Wärmeenergie der Wände und dynamisch mit gespeicherter Energie der Wände dargestellt. Es handelt sich um das dritte Teilmodell, dessen Zeitkonstante einmal auf einen Wert für T = 0 und T = 500 gesetzt wird.
Nachfolgend wird die Simulation des Modells des Regelkreises der Gebäudeheizung für einen Sprung des Sollwertes aus dem Frostschutzmodus 5 °C zum Betriebsmodus 20 °C dargestellt.
Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell ohne Speicherfähigkeit der Raumwände
Die Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt rein statisch ohne gespeicherte Wärmeenergie der Gebäudewände.
Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied mit dem Verhalten der Zeitkonstante T = 0 zeigt die stationären Zustände der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an, die sich nach genügend langer Zeit einstellen. Der Übergang von den unteren Temperaturwerten zu den oberen Temperaturwerten ist zeitlich nicht real, weil zu jedem Wert der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur nicht die gespeicherte Wärme der Gebäudewände berücksichtigt ist.
Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell mit Speicherfähigkeit der Raumwände
Die Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt mit Berücksichtigung der gespeicherten Wärmeenergie der Gebäudewände.
Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied für die Wärmespeicherfähigkeit der Raumwände mit der Zeitkonstante T = 500 Minuten zeigt das Verhalten des Anstiegs der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an. Dabei wird deutlich, dass die Raumtemperatur den Sollwert 20 °C bereits erreicht hat, während die Heizkörpertemperatur wegen der gespeicherten Wärmeenergie der Wände nur mit 45 °C gefordert wird. Erst nach ca. 2000 Minuten stellt sich die Heizkörpertemperatur von 60 °C als statisch ein, konstante Witterungseinflüsse vorausgesetzt.

Mathematische Methoden zur Beschreibung und Berechnung eines Regelkreises

Dieses Kapitel zeigt die Anwendung der Methoden der Regelungstechnik und der Systemtheorie für die Berechnung von dynamische Systemen und Regelkreisen. Dabei werden die Begriffe von Verfahren der Systembeschreibungen, Übertragungsfunktionen, lineare und nichtlineare Regelstrecken, zeitinvariante und zeitvariante Systeme, Zweipunktregler, mathematische Systemmodelle und numerische Berechnungen tangiert und Hilfen auf ausführliche Artikel bzw. deren Kapitel gegeben.
Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit mit einem bestimmten Zeitverhalten und hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang.
Modelle (Modellbildung) eines realen dynamischen Übertragungssystems werden mathematisch beschrieben durch:
* Differenzialgleichungen
* Übertragungsfunktion und Frequenzgang
* Zustandsraumdarstellung
* Numerische zeitdiskrete Beschreibung linearer Systeme (Differenzengleichungen) und nichtlinearer Systeme (Logische Befehle, Tabellenwerte)

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält.5 Verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit DGL-en formal identisch darstellen.
Kommen Ableitungen nur bezüglich einer Variablen vor, spricht man von einer „gewöhnlichen Differentialgleichung“, wobei der Begriff „gewöhnlich“ bedeutet, dass die betrachtete Funktion nur von einer Veränderlichen abhängt. Mit gewöhnlichen DGL-en lassen sich viele dynamische Systeme aus Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben.
Eine lineare DGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es treten keine Produkte der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen auf; ebenso erscheint die gesuchte Funktion nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw.

Entstehung einer Differentialgleichung

Eine DGL ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion. Die Lösung einer DGL ist keine Zahl, sondern eine Funktion!
Beispiel elektrischer Schwingkreis:
Spannungsbilanz: Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist Summe aller Spannungen einer Masche gleich Null.

Der Spannungsabfall am Widerstand R ergibt sich zu U_R = i · R. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung an der Induktivität U_L = L · di / dt. Der Ladestrom am Kondensator ist proportional der Spannungsänderung am Kondensator i(t) = C · dy / dt.
Die Anwendung des Maschensatzes führt zunächst zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung:

Setzt man in die DGL für i(t):

ein, dann ergibt sich die Schwingungsgleichung:

Es können Zeitkonstanten wie T₁ = R · C und T₂² = L · C eingeführt werden. Ersetzt man auch die in der Systembeschreibung übliche Darstellung der Eingangsgröße u(t) und Ausgangsgröße y(t), dann lautet die bekannte DGL für einen Reihenschwingkreis:

Grundlagen der Übertragungsfunktion als Systembeschreibung

Die am häufigsten dargestellte Systembeschreibung linearer zeitinvarianter Systeme ist die Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Frequenz s.
Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der Laplace-transformierten Ausgangsgröße $Y(s)$ zur transformierten Eingangsgröße $U(s)$:

Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z. B. Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert null. Unter dieser Bedingung, dass die Anfangsbedingungen der systembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt $t\; =\; 0$ gleich null sind, ist die Übertragungsfunktion des Systems gleich der Laplace-transformierten Differenzialgleichung des Systems.
In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (phasenminimalen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende drei Grundformen (Linearfaktoren) geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler (differenzierendes Verhalten) oder im Nenner (verzögernd, Integrierend) einer Übertragungsfunktion stehen:

|- class="hintergrundfarbe5"
! Typ Linearfaktor || Bedeutung im Zähler || Bedeutung im Nenner
|-
| $G1(s)=T\backslash cdot\; s$ || Differenzierer, D-Glied || Integrator, I-Glied
|-
| $G2(s)=T\backslash cdot\; s+1$ || PD-Glied || Verzögerung, PT1-Glied
|-
| $G3(s)=T^2\; \backslash cdot\; s^2+2\backslash cdot\; D\backslash cdot\; T\backslash cdot\; s+1$ || PD2-Glied: für 0 < D < 1
mit konjugiert komplexen Nullstellen || Schwingungsglied PT2-Glied: für 0 < D < 1
mit konjugiert komplexen Polen
|}
Dabei ist T die Zeitkonstante, s die komplexe Frequenz bzw. der Laplace-Operator, D der Dämpfungsgrad. Die Zeitkonstanten im Frequenzbereich entsprechen einer dimensionslosen Zahl. Die unter Typ Linearfaktor bezeichneten Grundformen der Übertragungssysteme können im Nenner und Zähler einer Übertragungsfunktion G(s) stehen.
Allgemein wird ein dynamisches lineares Übertragungssystem durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Zur Vereinfachung und zum leichteren Verständnis wird die Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen. Dabei wird entsprechend dem Differentiationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch den Laplace-Operator s als komplexe Frequenz ersetzt. Entsprechend höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden durch sⁿ ersetzt.
Das Ergebnis wird nach Ordnung der Terme des sich ergebenen Polynoms als Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße als Übertragungsfunktion definiert. Über die Nullstellen-Bestimmung kann die Übertragungsfunktion als Polynom in Linearfaktoren zerlegt und direkt in der Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.
Tabelle sämtlicher vorkommenden Arten der regulären Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:
{| class="wikitable"
|-
| Übertragungsfunktion ?
G(s) || $\backslash frac\; Y\; U\; (s)\; =\; K$ || $\backslash frac\; Y\; U\; (s)\; =\; \backslash frac\; 1\{T\backslash cdot\; s\}$ || $\backslash frac\; Y\; U\; (s)\; =\; T\backslash cdot\; s$ || $=\; K\_\{PD1\}(Ts+1)$ || $=\; \backslash frac\; \{K\_\{PT1\}\}\{T\backslash cdot\; s+1\}$ || $=\backslash frac\; \{K\_\{PT2\}\}\; \{T^2\; s^2+2\; D\; T\; s+1\}$ || $=\; K\_\{T\_t\}\backslash cdot\; e^\{-T\_t\backslash cdot\; s\}$
|-
| Übergangsfunktion ?
(Sprungantwort) || || || || || || ||
|-
! Benennung ? || P-Glied || I-Glied || D-Glied || PD₁-Glied || PT₁-Glied || PT₂-Glied || Totzeitglied
|}
Anmerkungen zur Übertragungsfunktion:
* Der große Vorteil der Beschreibung linearer dynamischer Systeme als Übertragungsfunktionen mit den Linearfaktoren besteht darin, dass nur 6 leicht einzuprägende Grundformen des Systemverhaltens existieren, die sich zu größeren Systemformen zusammensetzen können. Die transzendente Form des Totzeitgliedes gehört nicht dazu, es sei denn, es wird als gebrochen-rationale Funktion dem Totzeitglied angenähert.

* Die Übertragungsfunktionen können beliebig als einzelne Übertragungssysteme in der Reihen- und Parallelschaltung eines Blockdiagramms zusammengefasst und algebraisch behandelt werden.
* Die dargestellten Übertragungsfunktionen mit D-Anteilen werden als "ideal" bezeichnet. Diese Systeme lassen sich "real" nicht ohne Kombination mit einem Verzögerungsglied (PT1-Glied) herstellen. Dabei muss die Zeitkonstante des Verzögerungsgliedes wesentlich kleiner sein, als die des D-Anteils.




* Die differenzierende Form der Übertragungsfunktion 2. Ordnung (PD2-Glied) mit konjugiert komplexen Nullstellen erlaubt bei gleichen Zeitkonstanten und gleichem Dämpfungsgrad die Kompensation des Verzögerungsgliedes 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen.

* Die Übertragungsfunktionen $G(s)$ werden immer als gebrochen-rationale Funktionen geschrieben.
* Der Übertragungsfunktion eines Systems $G(s)$ kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes $G\_\{Tt\}(s)=\; e^\{-s\backslash ,\; T\_t\}$ multiplikativ angehängt werden zu $G(s)\; =\; G\_1(s)\backslash ,\; G\_\{Tt\}(s)$. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet. Beliebige algebraische Operationen mit einem Totzeitglied sind nicht erlaubt.
* Nichtreguläre Übertragungsfunktionen G(s) enthalten ein Minuszeichen in der Gleichung (= positive Nullstelle). Sie können durch eine positive Rückkopplung (= Mitkopplung) entstehen und verhalten sich monoton instabil. Durch eine beliebige Eingangserregung strebt die Ausgangsgröße eines instabilen PT1-Gliedes in Abhängigkeit von der Zeitkonstante T bis zu seiner natürlichen Begrenzung einen unendlich großen Wert an.
Beispiel der Schreibweise eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung mit dem Verstärkungsfaktor K:

Diese Art Gleichungen der Übertragungsfunktionen lassen sich algebraisch behandeln, gelten für lineare Systeme und beziehen sich auf zeitinvariantes Verhalten. Übertragungsfunktionen können mit beliebigen Linearfaktoren zu Regelstrecken und Regelkreisen algebraisch zusammengesetzt werden, solange kein Totzeitsystem enthalten ist. Ist ein Eingangssignal U(s) als Testsignal gegeben, kann mittels Transformationstabellen das Zeitverhalten des Ausgangssignals y(t) errechnet werden.

Übertragungsfunktionen als Blockstruktur im Signalflussplan

Übertragungssysteme können aus Teilsystemen als Blöcke zusammengefasst werden. Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden. Die Systemausgänge dürfen nicht durch nachfolgende Systemeingänge belastet werden (Rückwirkungsfreiheit).
* Parallelschaltung:



* Reihenschaltung:



* Gegenkopplung oder Rückkopplung:

Lineare Regelstrecken

Lineare Systeme sind dadurch gekennzeichnet, dass der sogenannte Überlagerungssatz und der Verstärkungssatz gelten. Der Überlagerungssatz bedeutet, dass wenn das System mit den Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) gleichzeitig erregt wird, auch die Systemantwort aus einer Überlagerung der Systemantwort von f1(t) und der Systemantwort von f2(t) gebildet wird.
Das Verstärkungsprinzip bedeutet, dass bei doppelter Amplitude der Eingangsfunktion die Systemantwort ebenso doppelt so groß ist.
Natürliche lineare Regelstrecken enthalten oft verzögernde, integrierende und mit Totzeit behaftete Teilsysteme.
Ein elektrischer Widerstands-Kondensator Tiefpass 1. Ordnung im rückwirkungsfreien Zustand mit der Zeitkonstante T = R·C wird durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben:
Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied):

]
Für die Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungssytemen G(s) mit der Übertragungsfunktion müssen die Eingangssignale (Testsignale) im s-Bereich definiert werden.
Für die Berechnung der Sprungantwort eines Systems im Zeitbereich lautet der normierte Sprung 1(t) als Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal U(s) = 1 / s.
Die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens des PT1-Gliedes kann direkt aus den Laplace-Transformations-Tabellen abgelesen werden:
Gesuchte Funktion im s-Bereich:

Zugehörige Funktion im Zeitbereich:

Der Faktor K unterliegt nicht der Transformation und ist deshalb im s-Bereich wie auch im Zeitbereich gültig.
Wird die korrespondierende Zeitfunktion einer Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten- oder Nullstellen-Darstellung in den Transformationstafeln ohne das Laplace-transformierte Eingangssignal gesucht, ist das Ergebnis immer die Impulsantwort des Systems.
Lineare Regelstreckenarten
Die Zeitkonstante T besagt für ein Verzögerungsglied 1. Ordnung, dass ein Ausgangssignal nach einem Sprung eines Eingangssignals ca. 63 % des Wertes des Eingangssignals erreicht hat und sich der Signalverlauf asymptotisch - nach ca. 3 bis 4 Zeitkonstanten - an den Maximalwert des Eingangssignal annähert.
* Ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) verhält sich zeitinvariant, wenn für ein ansteigendes (Sprung) oder abfallendes (Rücksprung) Eingangssignal u(t) das Zeitverhalten (Zeitkonstante) sich nicht ändert. Dies erklärt sich aus der zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
* Ein Verzögerungsglied 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen, z. B. ein gedämpftes Feder-Masse-System, wird als Schwingungsglied bezeichnet. Die Sprungantwort nähert sich je nach Dämpfungsgrad D mit ausklingender Schwingung dem maximalen Wert der Eingangsgröße an.
* Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern bezeichnet man als Regelstrecke mit Ausgleich, auch als globales (proportionales) P-Verhalten.
* Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern und einem I-Glied bezeichnet man als Regelstrecke mit globalem I-Verhalten.
* Eine totzeitbehaftete Regelstrecke mit Verzögerungsgliedern kann nicht beliebig algebraisch berechnet werden. Es sei denn, die Totzeit wird annäherungsweise als gebrochen-rationale Funktion mit Verzögerungsgliedern definiert.
Vorteil der Systembeschreibung mit Übertragungsfunktionen (ohne Totzeitverhalten)
* Einfache algebraischen Berechnung beliebiger Systemverknüpfungen aller Einzelsysteme möglich
* Regelkreisglieder des Reglers und der Regelstrecke der offenen Kreises können zu einem Regelkreis geschlossen werden. Die sich daraus ergebenden Polynome können in Pole und Nullstellen zerlegt werden und wieder als faktorielle Grundglieder (Linearfaktoren) meist in Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.
* Sämtliche Systemeigenschaften lassen sich aus der Pol-Nullstellendarstellung ablesen.
* Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" lässt die Stabilität des geschlossenen Regelkreises anhand der Einzelsysteme G(s) des offenen (aufgeschnittenen) Regelkreises bestimmen.
* Für ein bekanntes Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal wie die Sprung- oder Stoßfunktion kann über die Anwendung von Laplace-Transformationstabellen das Zeitverhalten eines Einzelsystems oder eines Regelkreises berechnet und grafisch dargestellt werden.
* Reglerentwurf

Übertragungsfunktion und Frequenzgang

Die Übertragungsfunktion ist eine nicht messbare Funktion des Verhältnisses der Laplace-transformierten Ausgangsgröße zur Eingangsgröße. Sie kann jederzeit in den Frequenzgang bei identischen Koeffizienten (Zeitkonstanten) überführt werden.
Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion.

Im Gegensatz zur Übertragungsfunktion kann der Frequenzgang eines linearen Übertragungssystems gemessen werden, indem ein sinusförmiges Eingangssignal konstanter Amplitude mit variabler Frequenz das unbekannte System erregt und die Ausgangsgröße aufgezeichnet wird. Die Entstehungsgeschichten des Frequenzgangs und der Übertragungsfunktion sind unterschiedlich, die Schreibweisen können identisch bleiben.
Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" kann auch das Totzeitverhalten eines Teilsystems behandelt werden, weil diese Verfahren sich auf den offenen Regelkreis beziehen.

Zeitinvariante und zeitvariante Regelstreckenkomponenten

Beispiel Gebäudeheizung: In einem geheizten Gebäude fließt der erzeugte Wärmestrom vom Heizkörper über die Raumluft zu den Gebäudewänden über die Isolierungen an die Außenwitterung. Die verschiedenen Wärmeströme zwischen den Massen und zugehörigen Isolierungen haben je ein bestimmtes Zeitverhalten, das für eine Analyse der gesamten Regelstrecke zu definieren ist.
Zeitinvarianz
Bei den bisher dargestellten dynamischen Systemen handelt es sich um zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern.
Ein dynamisches Übertragungssystem ist zeitinvariant, wenn es sich über die Zeit nicht ändert. D.  h. die Systemantwort y(t+t₀) auf ein identisches Eingangssignal u(t+t₀) ist von t₀ unabhängig. Die Koeffizienten der mathematischen Systembeschreibung sind konstant (zeitlich unveränderlich, invariant).
Ein zeitinvariantes Verzögerungsglied (PT1-Glied) verhält sich für einen Signaleingangssprung wie auch für den Signalrücksprung identisch, d.  h. es strebt immer asymptotisch beim Ansprung den Maximalwert oder beim Rücksprung den Anfangswert mit gleicher Zeitkonstante an.
Zeitvarianz
Für die Beschreibung eines dynamischen Systems z. B. bei einem Wärmestrom in einem homogenen Materialstoff (Wasser, Luft, Stein) handelt es sich um ein System mit räumlich verteilten Energiespeichern.
Ein zeitvariantes System verhält sich zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich. Bei technischen Systemen liegt der Grund dafür meist in zeitabhängigen Parameterwerten, zum Beispiel durch Änderung der Koeffizienten der Energiespeicher [zeitabhängige Koeffizienten der Ableitungen y(t)].
Bei vielen Prozessen sind die Auswirkungen der Zeitvarianz so klein oder langsam, dass diese Systeme näherungsweise als zeitinvariant behandelt werden können.
Die den Übertragungsfunktionen zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen haben konstante Koeffizienten. Konstante Koeffizienten bedeuten, dass sich das Zeitverhalten des Systems nicht ändert. Wird z. B. das Zeitverhalten einer beschleunigten Masse beschrieben und es handelt sich um eine beschleunigte Rakete, die ihre Masse ändert, so handelt es sich um einen zeitvarianten Vorgang.

Mathematisches zeitvariantes Modell des Wärmeflusses in einem homogenen Medium z. B. Luft

Das Übertragungsverhalten eines Signalsprungs in einem räumlichen homogenen Medium (Materialstoff) zeigt sich in seinem zeitlichen Verhalten zwischen zwei Messpunkten angenähert als Verzögerungsglied 1. Ordnung mit einer Totzeit und unterschiedlichen Zeitkonstanten.
Das mathematische Modell für den Wärmefluss in einem homogenen Medium lässt sich nach der Aufzeichnung der Sprungantwort durch ein einfaches Modell mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied annähern. Die Parameter der Ersatztotzeit $T\_\{tE\}$ und der Ersatzzeitkonstanten $T\_E$ können anhand eines aufzuzeichnenden Messprotokolls experimentell bestimmt werden.

Für eine Gebäudeheizung wird berücksichtigt, dass die Aufheizung des Kessels schnell und die Abkühlung wegen der Wärmeisolierungen langsam erfolgt. Das Gleiche gilt für den Energieabfluss vom Heizkörper an die Raumluft und über die Wände an die Außenwitterung. Solche Systeme verhalten sich zeitvariant, d.  h. für einen Signalsprung hat das System eine andere Zeitkonstante als für einen Signal-Rücksprung. Je besser die Isolierung eines aufgeheizten Mediums ist, um so unterschiedlicher sind die Zeitkonstanten für die Aufheizung (klein) und der Wärmeabfluss (groß).
Falls die Darstellung der Totzeit mit dem Rechenprogramm Probleme bereitet, kann die dargestellte Modellgleichung auch praktisch identisch durch eine sehr gute Annäherung mit Ersatztotzeiten durch z. B. n = 3 PT1-Glieder wie folgt dargestellt werden:

Nichtlineares Übertragungssystem

Die lineare Systemeigenschaft ist häufig nicht gegeben, da viele zusammenwirkende Systeme z. B. in der Regelungstechnik bei Ventil-Kennlinien, Stellgrößenbegrenzungen oder Schaltvorgängen keine Linearität aufweisen.
Ein nichtlineares System kann entweder in Form nichtlinearer statischer Kennlinien oder in Form nichtlinearer Operationen wie Multiplikation oder Division von Variablen in algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen auftreten.
Ein nichtlineares dynamisches System 2. Ordnung entsteht beispielsweise durch ein Feder-Masse-Dämpfer-System, wenn das Federsystem oder der Dämpfer ein nichtlineares Verhalten hat. Anhand der Vielzahl der Formen nichtlinearer Systeme ist es schwierig, diese in bestimmte Klassen einzuordnen. Nichtlineare Systeme kann man als einzigartig einstufen.
Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Diese nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden.
Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z. B. bei quadratischem Verhalten.
Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.
Das Prinzip der Superposition gilt nicht bei nichtlinearen Übertragungssystemen.
Folgende Beziehungen ergeben sich bei nichtlinearen Systemen:
* Wird ein nichtlineares Übertragungssystem in einem festen Arbeitspunkt betrieben, dann kann das nichtlineare Verhalten des Systems durch ein lineares Modell für die nähere Umgebung des Arbeitspunktes ersetzt werden.
* Jeder nichtlineare Zusammenhang kann im Kleinsignalverhalten näherungsweise linear beschrieben werden. Die Näherung wird umso besser, je kleiner der Differenzenquotient y(t) zu u(t) am Arbeitspunkt ist.
* Ist eine nichtlineare Funktion als grafische Kennlinie gegeben, dann kann durch Anlegen einer Tangente im gewünschten Arbeitspunkt die Steigung der Tangente für die linearisierte Beziehung bestimmt werden
* Ein nichtlineares dynamisches System mit kontinuierlich fallender oder steigender Kennlinie kann auch durch Einbindung in einen eigenen Regelkreis linearisiert und damit auch in seinem dynamischen Verhalten verbessert werden.
* Nichtlineare Differenzialgleichungen lassen sich meist nur numerisch lösen. Wenn ein Übertragungssystem in Teilsysteme zerlegt werden kann und das nichtlineare Verhalten einzelner Systeme als analytische Gleichung oder Wertetabelle vorliegt, kann relativ einfach das Verhalten eines nichtlinearen dynamischen Systems berechnet werden.
* Das Zusammenwirken von unstetigen, nichtlinearen, statischen Systemen mit linearen Systemen zu Regelkreisen kann mit dem grafischen Verfahren der Harmonischen Balance optimiert werden. Die Anwendung der Harmonischen Balance zur Analyse von nichtlinearen Regelkreisen mit dem anschaulichen Zwei-Ortskurven-Verfahren zeigt, wann Dauerschwingungen auftreten und wie sich Dauerschwingungen vermeiden lassen.
* Flachheitsbasierte Systeme

Grundlagen der numerischen Berechnung von dynamischen Übertragungssystemen

Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Mit handelsüblichen Personal-Computern kann das Verhalten beliebig vermaschter Systemstrukturen mittels numerischer Berechnung relativ einfach ermittelt werden.
Für die Durchführung der Berechnung von Übertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekannten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
Alternativ können mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen bei Anwendung von Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Operatoren sehr effiziente Regelkreis-Simulationen durchgeführt werden. Dabei sind relativ geringe mathematische Kenntnisse erforderlich.
Treten Begrenzungseffekte im Regler oder Totzeitsysteme in der Regelstrecke auf, oder der Regler hat nichtlineare Eigenschaften wie der Zweipunktregler, kann das zeitliche Verhalten des Regelkreises nur numerisch mit der diskreten Zeit Δt berechnet werden. Auch die Berechnung von dynamischen Systemen mit dem Verfahren der Zustandsraumdarstellung ist mit einem Totzeitsystem nicht ohne numerische Berechnung möglich.6
Die numerische Berechnung erlaubt tabellarisch und grafisch eine völlige Durchsicht des inneren Bewegungsablaufs dynamischer Übertragungssysteme. In Verbindung mit logischen Programmbefehlen und Wertetabellen lassen sich nichtlineare, begrenzende und totzeitbehaftete Systeme simulieren.

Methode der numerischen Berechnung

Werden die Differenziale der Ausgangsgröße y(t) einer Differenzialgleichung durch kleine Differenzenquotienten $\backslash Delta\; y/\; \backslash Delta\; t$ mit $\backslash Delta\; t$ als diskretisierte Zeit ersetzt, entsteht eine numerisch lösbare Differenzengleichung in Annäherung an die Differenzialgleichung. Zweckmäßig ist die Umwandlung linearer Elementarsysteme (Übertragungsfunktionen wie I-, PT1-, D-, PD1-Glieder) in Differenzengleichungen. Diese können je nach Lage der Funktionsblöcke im Signalflussplan mit nichtlinearen Systemen oder Systemen mit Totzeit und deren numerischen Berechnungsmethoden rekursiv behandelt werden.
Differenzengleichungen oder eine Kette von Differenzengleichungen, die mehrere hintereinander geschaltete Elementarsysteme beschreiben, lassen die Ausgangsgröße $y\_\{(k)\}$ algebraisch für einen kleinen Zeitschritt $\backslash Delta\; t$ in Abhängigkeit des Eingangssignals $u\_\{(k)\}$ errechnen. Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv über viele Berechnungsfolgen in je kleinen konstanten Zeitintervallen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch. Alle Zeilen enthalten die gleichen Differenzengleichungen der Berechnungsfolge k = 1, alle Spalten berechnen die Folgen $k\; \backslash ,(0,\; 1,\; 2,\; 3\; \backslash dotsm\; k\_\{MAX\})$. Die Zeile mit k = 0 ist Anfangswerten vorbehalten. Der gesamte betrachtete Zeitraum der numerischen Lösung beträgt $k\_\{(MAX)\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; t$. Die Ausgangsgröße $y\_\{(k)\}\; =\; f(k,\; \backslash Delta\; t,\; u\_\{(k)\},\; \backslash text\; \{System\})$ folgt in Amplituden-Stufen im zeitlichen Abstand Δt einer jeden Berechnungsfolge.

Differenzengleichungen linearer Systeme

Mit Hilfe der Systembeschreibungen als Übertragungsfunktionen G(s) ist die Anzahl der wenigen verschiedenen Elementarsysteme (Linearfaktoren im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion) festgelegt. Dafür existieren aus den zugehörigen systembeschreibenden Differenzialgleichungen die daraus abgeleiteten Differenzengleichungen.
Die einfachsten Differenzengleichungen entstehen nach dem "Eulerschen Streckenzugverfahren" (auch Rechteckverfahren). Andere Methoden bedienen sich zur besseren Approximation z. B. an Stelle des Rechteck-Verfahrens (Explizites Eulerverfahren) des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Runge-Kutta-Verfahren) und anderer Verfahren.
Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit Reduzierung der Rekursionsfolgen, was bei langsamen Rechnern bei Echtzeitberechnungen erforderlich sein kann.
Mit der nachfolgenden Aufstellung der Differenzengleichungen der Übertragungsglieder G(s) erster Ordnung lassen sich alle linearen Systeme höherer Ordnung - auch Systeme mit konjugiert komplexen Polen - nachbilden. Differenzengleichungen lassen sich mit jeder Programmiersprache anwenden. Empfohlen wird die Verwendung der Tabellenkalkulation, weil Programmfehler damit ausgeschlossen sind.
Zugehörige Differenzengleichungen von Übertragungssystemen G(s) erster Ordnung:
{| class="wikitable center"
|-
! Elementarsysteme
| P-Glied || I-Glied || D-Glied || PD₁-Glied || PT₁-Glied
|-
! Übertragungsfunktion
| $\backslash frac\; Y\; U(s)\; =\; K$|| $\backslash frac\; Y\; U(s)=\; \backslash frac\; 1\{T\backslash cdot\; s\}$||$\backslash frac\; Y\; U(s)=\; T\backslash cdot\; s$|| $\backslash frac\; Y\; U(s)=K\; \backslash cdot(T\backslash cdot\; s+1)$|| $\backslash frac\; Y\; U(s)=\backslash frac\; K\; \{T\backslash cdot\; s+1\}$
|-
! Differenzengleichungen
$y\_\{(k)\}\; =\; \backslash ,$
| $y\_\{(k)\}\; =\; K\; \backslash cdot\; u\_\{(k)\}$||$y\_\{(k-1)\}\; +\; u\_\{(k)\}\backslash cdot\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; t\}\{T\}$ ||$[u\_\{(k)\}-u\_\{(k-1)\}]\backslash cdot\; \backslash frac\; \{T\}\{\backslash Delta\; t\}$ || $K\_\{PD1\}\; \backslash cdot\; [u\_\{(k)\}\; +\; [u\_\{(k)\}-u\_\{(k-1)\}]\backslash cdot\; \backslash frac\; \{T\}\{\backslash Delta\; t\}]$|| $y\_\{(k-1)\}+[K\_\{PT1\}\backslash cdot\; u\_\{(k)\}-y\_\{(k-1)\}]\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; t\}\{T+\backslash Delta\; t\}$
|}
(Mit K = Verstärkungsfaktor, $y\_\{(k)\}$ = aktuelle Ausgangsgeöße, $y\_\{(k-1)\}$ = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante, $u\_\{(k)\}$ = aktuelle Eingangsgröße)

Nichtlineare statische Systeme

Die tabellarische Form der numerischen Lösung erlaubt auch die Berechnung nichtlinearer statischer Systeme, indem die nichtlineare Beziehung als Wertetabelle der Tabellenspalte der Berechnungsfolge k zugeordnet wird. Ebenso ist die Berechnung der Totzeit eines Systems durch Verschiebung der Zeilen mit geeigneten Programmbefehlen möglich.
Bei nichtlinearen Systemen wie dem unstetigen statischen Mehrpunktregler besteht die numerische Beschreibung aus einfachen nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-DANN-SONST-Anweisung erfolgen.
Nichtlineare unstetige statische Kennlinien, die nicht über analytische Gleichungen beschrieben werden können, lassen sich als Wertetabellen innerhalb der Gesamttabelle einfügen.
Die numerische Berechnung nichtlinearer Funktionen ist auch bei statischen Systemen ohne Zeitverhalten anwendbar, wenn z.B. das Intervall auf die Systemeingangsgröße $\backslash Delta\; u\_\{(k)\}$ bezogen wird.

Anwendung der numerische Berechnung

*Simulation dynamischer Systeme


* Digitale Regelung online

* Anfangswerte der inneren Energiespeicher eines dynamischen Systems

Berechnung eines linearen dynamischen Systems mit und ohne Anfangsbedingungen

In der Regelungstechnik werden häufig Übertragungssysteme durch Aufzeichnung der Sprungantwort der Ausgangsgröße gegenüber dem Wert Null bzw. einer Ruhelage analysiert. Dabei wird meistens vorausgesetzt, dass sich das System in Ruhe befindet. Es gibt aber Anwendungen, bei denen die Speicher "Anfangswerte" haben oder das System bei Anfangswerten getestet werden soll, um spezielle Aussagen zu treffen.
Anfangsbedingungen können sich auf Werte von Signalen beziehen, mit denen ein dynamischen Prozess gestartet wird. Sind als Anfangsbedingungen die Werte der inneren Systemspeicher eines dynamischen Systems gemeint, dann handelt es sich um ein sogenanntes Anfangswertproblem. Ist die Übertragungsfunktion G(s) bekannt, kann durch die inverse Laplace-Transformation auf die zugehörige gewöhnliche Differenzialgleichung geschlossen werden.

Klassische, analytische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
* Die partikuläre Lösung der Differenzialgleichung beschreibt das Übertragungsverhalten von y(t) für u(t) ? 0 als erzwungene Bewegung. Lösungen für Differenzialgleichungen g(t) sind durch das Faltungsintegral oder bei Übertragungsfunktionen G(s) durch Anwendung der Laplace-Transformationstabellen möglich.
* Die homogene Lösung der Differenzialgleichung beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt t = 0 und dem Eingangssignal u(t) = 0. Mit dem Lösungsansatz $y\; =\; e^$

Reglerentwurf für lineare zeitinvariante Systeme

Die wichtigste Aufgabe des Reglers aus der Sicht des Führungsverhaltens ist die Regelgröße optimal – d.  h. schnell und möglichst schwingungsfrei – auf das Niveau des Sollwertes zu bringen.
Liegt die Beschreibung der Regelstrecke als lineares zeitinvariantes Übertragungssystem Gs(s) in Produktdarstellung vor, kann relativ einfach ein geeigneter Regler G_R(s) bestimmt werden. Zur Vereinfachung des offenen Regelkreises
G_O(s) = G_S(s) · G_R(s) werden PT1-Glieder der Strecke gegen PD1-Glieder des Reglers gekürzt (Pol-Nullstellenkompensation).
Mit Hilfe der Gleichung für das Schließen des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) ergibt sich die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises in Polynomdarstellung.
Dank der bekannten Ergebnisse der Systemanalyse von Übertragungssystemen lassen sich relativ einfach die Polynome der Übertragungsfunktionen von Regelstrecken oder Regelkreisen auf 3 faktorielle Grundformen mittels der Nullstellenverfahren (Bestimmung der Nullstellen von Polynomen) darstellen.
Eine dieser drei Grundformen ist das PT2-Schwingungsglied, das immer bei regulären Systemen ab zwei PT1-Gliedern mit zunehmender Kreisverstärkung des geschlossenen Regelkreises entsteht. Aus dem gewünschten Dämpfungsgrad D des Schwingungsgliedes kann die Kreisverstärkung K errechnet werden.
Der Wert des Dämpfungsgrades D entscheidet, ob die Sprungantwort der Regelgröße aperiodisch (D > 1), gedämpft schwingend (D < 1) oder zunehmend periodisch schwingend (D < 0) verläuft.
Bei Regelstrecken mit nichtregulären Systemen (monoton instabiles PT1-Glied G₀(s) = 1 / (T*s - 1)) oder instabile Regelstrecken mit zwei I-Gliedern (G₀(s) = 1 / s²) wird der geschlossene Regelkreis mit einem geeigneten Regler mit steigender Kreisverstärkung stabil.
Siehe nebenstehende Grafik mit 2 Sprungantworten eines Regelkreises mit instabiler Regelstrecke und zwei unterschiedlichen Verstärkungswerten K = 1 und K = 100 des PD-Reglers.

Prinzipielle Methode der Reglerparametrierung für eine stetige lineare Regelstrecke (LZI)

* Die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke kann als Polynom im Nenner und Zähler vorliegen. Sie kann in die Produktdarstellung überführt werden durch Berechnung der Pole und Nullstellen.
* Dominante PT1-Glieder der Regelstrecke können durch PD-Glieder des Reglers – soweit vorhanden – kompensiert werden, d.  h. gleiche Zahlenwerte mit gleichem Vorzeichen der Pole und Nullstellen haben damit keine Wirkung mehr. Für die Stabilität des Regelkreises ist jeweils 1 Pol mehr erforderlich als Nullstellen innerhalb der Übertragungsfunktion vorhanden sind.
* Die Dynamik des Reglers muss auf das Verhalten der Regelgröße angepasst werden. Ist eine Regelabweichung zugunsten schnellerer Dynamik erlaubt, kann auf ein I-Glied des Reglers verzichtet werden.
* Damit der Regelkreis geschlossen werden kann, muss die Kreisverstärkung K bestimmt werden.

* Mit der Schließbedingung des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) kann ein geschätzter Wert für K eingesetzt werden. Damit entsteht ein Nennerpolynom höheren Grades, entsprechend der Anzahl der Pole des offenen Regelkreises. Der Unterschied zum offenen Regelkreis besteht darin, dass das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises ab einer bestimmten Kreisverstärkung PT2-Schwingungsglieder der Normalform

Entwurf eines Reglers durch Polzuweisung in der s-Ebene

Das nachfolgend beschriebene Entwurfsverfahren besteht darin, dass Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises in bestimmte Bereiche des Pol-Nullstellen-Diagramms (siehe auch Polvorgabe im Zustandsraum) zugewiesen werden, um bestimmte Güteanforderungen festzulegen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ein dominantes Schwingungsglied (PT2-Glied) vorliegt, evtl. vorhandene zusätzliche Pole weit genug vom dominanten Polpaar entfernt in der linken s-Halbebene liegen und deshalb wenig Einfluss haben.
Aufgabe eines Reglers ist nun, die zugewiesene Lage der Pole zu erfüllen.

Reglerentwurf mit der inversen Laplace-Transformation

Ist die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems gegeben, kann mittels der inversen Laplace-Transformation mit einem definierten Eingangs-Testsignal der Verlauf der Ausgangsgröße bzw. die Regelgröße errechnet werden. Dabei bedient man sich einer Transformationstafel, welche für eine gegebene Übertragungsfunktion
$F(s)\; =\; \backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\backslash \{f(t)\backslash right\backslash \}$
die zugehörige Spalte f(t) für die Gleichung im Zeitbereich wiedergibt.
Ist bei der Übertragungsfunktion G(s) das transformierte Eingangssignal Xe(s) nicht berücksichtigt,
Xa(s) = G(s) * Xe(s) bzw. Y(s) = G(s) * W(s),
ergibt sich für die Rücktransformation f(t) immer die Impulsantwort des Übertragungssystems. Dies erklärt sich dadurch, dass der transformierte Delta-Impuls Xe(s) = 1 ist.
Üblich ist der Einsatz von transformierten Testsignalen (Regelstrecke#Testsignale) der
* Sprungfunktion $X\_e\backslash sigma(s)\; =\; \{\backslash frac\; 1s\}$; mit dem Einheitssprung 1 und der
* Anstiegsfunktion: $X\_\{ea\}(s)\; =\; \backslash frac\; c\{s^2\};$ $\backslash qquad$ $\backslash qquad$ Gradient: $c\; =\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; \backslash ,x\_\{ea\}(t)\}\{\backslash Delta\backslash ,\; t\}$
Fazit: Die Anwendung gilt nur für lineare zeitinvariante Systeme und fordert bei gedämpft schwingenden Systemen viel Rechenarbeit.

Digitale Regelung

Handelt es sich bei dieser Regelstrecke um ein lineares System, so ergibt sich je nach verwendetem Regler-Algorithmus eine lineare oder eine nichtlineare Regelung. Bei Anwendung eines linearen Reglers, z. B. eines PID-Reglers, können mittels Differenzengleichungen die drei Teilsysteme in Reihenschaltung, zwei PD1-Glieder und ein I-Glied, mittels eines digitalen Rechners berechnet werden.
Bei Echtzeitberechnungen, beispielsweise mit einem programmierbaren Mikrocontroller, der auf eine Hardware-Regelstrecke wirkt, wird die Diskretisierungszeit ?t durch die "Abtastzeit" ersetzt, mit der das meist analoge Ausgangssignal der Regelstrecke über Analog-Digitalwandler erfasst wird. Der Abtastung des Ausgangssignals ist üblicherweise ein Halteglied nachgeschaltet, so dass ein gestufter Verlauf des Ausgangssignal entsteht. Die Regelstrecke hat meist einen analogen Eingang, der von dem digitalen Regler als Stellgröße mit einem Digital-Analog-Wandler bedient werden muss. Je nach Aufgabenstellung der Art des Signals der Führungsgröße können digitale Bedienelemente (Sollwertgeber) oder Analog-Digital-Wandler erforderlich werden.
Diese Art Regelungen mit Abtastung der Ein- und Ausgangssignale des Regelkreises werden gelegentlich auch mit Abtastregelungen bezeichnet.
Bei schnellen Regelstrecken spielen die Systemgeschwindigkeiten des Rechners, der A/D-Wandler, die Sample-And-Hold-Schaltung, wie auch die verwendeten Differenzengleichungen beziehungsweise deren Approximations-Algorithmen eine große Rolle.

Grundlagen Zustandsregelung

Der Zustandsregler ist kein eigenständiger Regler, sondern er entspricht der mit Faktoren bewerteten Rückführung der Zustandsgrößen eines mathematischen Modells der Regelstrecke im Zustandsraum.
Das Grundprinzip des Zustandsreglers (auch statische Zustandsrückführung genannt) ist die Rückführung der bewerteten inneren Systemgrößen $x\_1,\; x\_2\; \backslash cdots\; x\_n\; \backslash ,$ eines Übertragungssystems zu einem Regelkreis. Die einzelnen Zustandsgrößen werden mit Faktoren $k\_1,\; k\_2\; \backslash cdots\; k\_n\; \backslash ,$ bewertet und wirken subtraktiv auf die Führungsgröße w(t).
Damit durchlaufen Anteile der Zustandsgrößen ein zweites Mal die Integrationskette der Rechenschaltung laut Signalflussplan der Regelungsnormalform. Das Ergebnis ist ein Zustandsregler mit PD-Verhalten im Zustandsregelkreis.
Im Gegensatz zu einem Standardregelkreis wird die Ausgangsgröße y(t) des Zustandsregelkreises nicht auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Der Grund liegt darin, dass die Ausgangsgröße y(t) eine Funktion der Zustandsgrößen ist. Dennoch kann ein nicht akzeptabler proportionaler Fehler zwischen den Werten der Führungsgröße w(t) und der Regelgröße y(t) entstehen, der durch ein Vorfilter V beseitigt werden muss.
Die Regler-Zustandsrückführung (zur Unterscheidung der Rückführung der Zustandsgrößen) bezieht sich auf den Zustandsvektor $\backslash underline\{x\}(t)$ , der mittels Vektorverstärkung $\backslash underline\{k\}^T$ laut dem Signalflussplan des Modells der Zustandsregelkreises auf die Eingangsgröße $V\; \backslash cdot\; w(t)\; \backslash ,$ zurückgeführt wird:
Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Soll-Ist-Wert-Vergleich.8
Eine Alternative zur Vermeidung einer Regelabweichung bietet ein überlagerter Regelkreis des Zustandsregelkreises mit einem PI-Regler mit Rückführung der Regelgröße y(t), der das Vorfilter V überflüssig macht.

Regelung mit nichtlinearen Reglern

Bei linearen Systemen ohne Energiespeicher ist die Ausgangsgröße proportional der Eingangsgröße.
Bei linearen zeitinvarianten (LZI-System) Systemen mit Energiespeichern ist die Ausgangsgröße im eingeschwungenen Zustand der Eingangsgröße proportional.
Bei Systemen mit integralem Verhalten (I-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des zeitlichen Integrals der Eingangsgröße. Bei Systemen mit differenzierendem Verhalten (D-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des Differentialquotienten der Eingangsgröße.
Mathematische Operationen von Signalen bezogen auf die Ausgangsgröße wie:
* Additionen, Subtraktionen, Differentiationen, Integrationen oder Multiplikationen mit einem konstanten Faktor von Eingangssignalen ergeben lineares Verhalten.
* Multiplikation und Division von Eingangsgrößen ergeben nichtlineares Verhalten.
Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen.
Nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden. Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z. B. bei quadratischem Verhalten. Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.
Zu den nichtlinearen Reglern gehören auch die unstetigen Regler wie Zweipunkt-, Mehrpunkt- und Fuzzy-Regler, die in einem eigenen Kapitel beschrieben sind.
Die Berechnung von nichtlinearen Systemen geschieht meist im Zeitbereich. Die Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen ist schwierig und aufwendig. Dies bezieht sich besonders auf die Gruppe der Systeme mit unstetigem nichtlinearem Übertragungsverhalten bzw. nichtstetigen Reglern. Einfacher ist die Berechnung eines Regelkreises mit schaltenden Reglern mit rechnergestützten zeitdiskreten Verfahren.
Fuzzy-Regler
Fuzzy-Regler arbeiten mit sogenannten „linguistischen Variablen“, welche sich auf „unscharfe Mengenangaben“ beziehen, wie zum Beispiel hoch, mittel und niedrig. Die „Regelbasis“ verknüpft die fuzzifizierten Ein- und Ausgangssignale mit logischen Regeln wie WENN-Teil und DANN-Teil. Mit der Defuzzifizierung wird die unscharfe Menge wieder in scharfe Stellbefehle gewandelt (z. B. Ventilkombinationen für „Kraft Aufbau“ oder „Kraft Abbau“ oder „Kraft halten“).
Ein grafisches Fuzzy-Modell zeigt eine Fuzzy-Variable als skalierte Grundmenge (z. B. Temperaturbereich), deren meist dreieckförmige Teilmengen (Fuzzy-Sets) auf der Abszisse eines Koordinatensystems meist überlappend aufgeteilt sind.
Die Ordinate zeigt den Zugehörigkeitsgrad für jeden scharfen Wert der Eingangsgröße an. Der maximale Wert des Zugehörigkeitsgrades für jeden Fuzzy-Set beträgt μ = 1 = 100 %.
Unstetige Regler
Bei unstetigen Reglern (auch nichtstetige Regler) ist die Ausgangsgröße u(t) gestuft. Bei einem einfachen Zweipunktregler kann die Ausgangsgröße des Reglers – die Stellgröße u(t) – nur 2 diskrete Zustände annehmen:
Ist die Regelabweichung e(t) = w(t) – y(t) positiv, schaltet der Zweipunktregler ein, ist sie Null oder negativ schaltet der Regler aus. Hat der Regler eine symmetrische Hysterese, muss die Regelabweichung stets einen kleinen Betrag negativ werden, damit der Regler ausschaltet und einen gleichen kleinen Betrag positiv werden, damit der Regler einschaltet.
Unstetige Regler mit den Ausgangssignalzuständen „Ein“ oder „Aus“ können auch ein proportionales Verhalten haben, wenn die Ausgangsgröße eines klassischen Standardreglers mit einem Pulsbreiten-Modulators versehen wird. Die Regelstrecke wirkt dabei zur Glättung der gepulsten Signale als Tiefpass. Zweck dieses Verfahrens ist die möglichst verlustfreie Steuerung großer Energieflüsse.
Bei der Verwendung elektrischer und elektronischer Schaltelemente wie Relais, Schaltschütze, Transistoren und Thyristoren ist eine möglichst niedrige Schaltfrequenz anzustreben, um Bauelemente-Verschleiß und Alterung gering zu halten. Auch elektronische Bauelemente unterliegen einer Alterung, wenn sie bei erhöhter innerer Temperatur betrieben werden. Andererseits bedeutet eine niedrige Schaltfrequenz eine Erhöhung der Welligkeit des Signals der Regelgröße.
Wegen der durch steile Impulsflanken verursachten elektromagnetischen Störungen der Schaltvorgänge sind geeignete Entstörmaßnahmen vorzusehen. (Siehe Elektromagnetische Verträglichkeit)
Wie auch bei linearen Übertragungssystemen interessiert die Stabilität eines Regelkreises mit nichtstetigen Reglern.
Die effektivste Berechnungsmethode für den Entwurf, die Analyse und der Optimierung eines nichtstetigen Reglers im Regelkreis-Modell ist numerisch durch kommerzielle Rechenprogramme wie mit MATLAB oder Simulink zu erreichen.
Liegen solche Rechenprogramme nicht vor, so können mit der Kombination logischer Gleichungen und Differenzengleichungen beliebige Systeme und Regelkreise mit stetigen, unstetigen, nichtlinearen und linearen Elementen relativ einfach mit beliebigen Rechenprogrammen – vorzugsweise Tabellenkalkulation – numerisch für eine diskrete Zeit Δt berechnet werden.
Das Verhalten der relevanten Regelkreissignale für ein Test-Eingangssignal kann direkt tabellarisch und grafisch dargestellt werden.
Zweipunktregler
Zweipunktregler können nicht nur einfachste Regelaufgaben zufriedenstellend lösen. Sie vergleichen die Regelgröße mit einem meist hysteresebehafteten Schaltkriterium und kennen nur zwei Zustände: „Ein“ oder „Aus“. Diese so definierten Zweipunktregler haben theoretisch kein Zeitverhalten.
Darunter fallen die elektromechanischen Regler oder Schaltkomponenten wie z. B. Bimetall-Schalter, Kontaktthermometer, Lichtschranken. Häufig sind diese einfachen Regler nur für einen festen Sollwert geeignet.
Das Hystereseverhalten des realen elektromechanischen Zweipunktreglers entsteht meist durch Reibungseffekte, mechanisches Spiel, zeitabhängige elastische Materialverformungen und Mitkopplung des Systemausgangs auf den Eingang.
Elektronische Zweipunktregler erlauben eine sehr gute Anpassung an die Regelstrecke. Dafür werden 2 wichtige Eigenschaften des Reglers erforderlich. Die sich automatisch einstellende Schaltfrequenz des Regelkreises muss durch einzustellende Parameter erhöht oder reduziert werden, um eine gewünschte optimale Schaltfrequenz zu erzielen.
Dazu wird der ideale elektronische Zweipunktregler durch folgende Schaltungsmaßnahmen erweitert:
* definierte (harte) Hysterese durch Mitkopplung des Reglerausgangs zum Eingang (additiver Einfluss),
* Zeitverhalten durch verzögernde oder verzögernd nachgebende Rückführung auf das Eingangssignal (subtraktiver Einfluss).
Damit kann hinsichtlich der unterschiedlichen Arten der Regelstrecken ein gewünschtes Verhalten der Regelgröße und der Schaltfrequenz erreicht werden.
Für spezielle Anwendungen der Regler und Stellglieder kann die Signalverarbeitung auch auf der Basis von pneumatischen oder hydraulischen Medien erfolgen. Die Gründe dafür sind: explosive Materialien in der Umgebung, hohe elektromagnetische Störstrahlung, keine elektrische Energie vorhanden, pneumatische oder hydraulische Energieeinrichtungen sind bereits vorhanden.
Richtig angepasste Zweipunktregler an eine Regelstrecke können für die Regelgröße y(t) bessere dynamische Eigenschaften als die Anwendung eines stetigen Standardreglers bieten
Dreipunktregler
Dreipunktregler mit drei Schaltzuständen haben einen Eingang und zwei Ausgänge und schalten jeden der beiden Ausgänge in den Zustand „Ein“ oder „Aus“ oder „beide Aus“ in Abhängigkeit von einem bestimmten positiven oder negativen Wert des Eingangssignals e(t). Sie erlauben, zwei unterschiedliche Energiearten zu schalten, und haben eine meist symmetrische „Totzone“ mit einem oberen und unteren Grenzwert der Regelabweichung e(t), in der um den Nullpunkt der Regelabweichung keine Schaltaktivitäten stattfinden.
Anwendungen findet man häufig bei motorischen Stellantrieben für Vor- und Rücklauf und in allen Arten integral wirkenden Regelstrecken.
Bei proportionalen Regelstrecken mit unterschiedlichen dominanten Zeitkonstanten (Beispiel: schnelle Aufheizung und langsame Abkühlung) kann die Reaktionsgeschwindigkeit der Regelgröße für Führungsgrößenänderungen verbessert werden, wenn anstelle des Zweipunktreglers an einer Heizungsregelstrecke ein Kühlaggregat über einen Dreipunktregler eingeschaltet wird.
Andere Anwendungen des Dreipunktreglers mit unsymmetrischer Totzone sind bekannt zur Reduzierung der Schwankungsbreite der Regelgröße durch Regelung einer Grundlast mit aufgesetzter Teillast. Beispiel: Glühofen mit 2 Heizeinrichtungen.9
Ebenso wie bei dem Zweipunktregler kann der Dreipunktregler neben der Hysterese ein gewünschtes Zeitverhalten durch eine subtraktive Rückführung auf den Eingang des Reglers mit Verzögerungsgliedern bekommen.
Wie bei den Zweipunktreglern reduziert sich die Schaltfrequenz mit steigender Hysterese.
Die Größe der Totzone des Dreipunktreglers kann empirisch oder durch numerische Simulation bestimmt und optimiert werden. Sie ist von der Totzeit und von der Anzahl und Größe der Zeitkonstanten bzw. Integrationskonstanten der Regelstrecke abhängig. Eine weitere Vergrößerung einer als optimal bestimmten Totzone ruft bei P- und I-Regelstrecken größere Regelabweichungen gegenüber dem Sollwert hervor.

Erweiterte Regelkreisstrukturen

Dezentrale Regelung
Die dezentrale Regelung ist ein spezieller Ansatz zur Regelung von Mehrgrößensystemen mit gleicher Anzahl $m$ von Ein- und Ausgängen. Jeder Regelgröße wird ein Eingang zugeordnet, der möglichst großen Einfluss auf die Regelgröße hat. Für jedes Paar von Ein- und Ausgängen wird ein Eingrößenregler entworfen und realisiert, insgesamt also $m$ Eingrößen-Regelkreise.
Kaskadenregelung
Die Idee der Kaskadenregelung besteht in der Ineinanderschachtelung von Regelkreisen. Es werden zunächst Hilfsregelgrößen mit schnellen inneren Regelkreisen geregelt, deren Sollwerte aus den Stellwerten der äußeren, langsameren Kreise bestehen.
Smith-Prädiktor
Ein Prädiktor nutzt direkt (nicht indirekt wie beim Beobachter) das Wissen des Regelstreckenmodells zur Vorhersage zukünftiger Regelgrößenverläufe. Dies bietet insbesondere Vorteile bei stark totzeitbehafteten Systemen, da konventionelle Regler dann zumeist nur sehr vorsichtig eingestellt werden können. Beispiele für starke Totzeiten finden sich zum Beispiel in der Verfahrenstechnik beim Stofftransport über lange Leitungen. Um eine wesentlich aggressivere Regelung dieser Systeme zu ermöglichen, wurde in den 1950er Jahren der Smith-Prädiktor entwickelt.10
Split-Range-Regelung
Die Split-Range-Regelung betrifft die Realisierung einer Stellgröße durch mehrere Aktoren mit beschränktem Wirkbereich. Beispielsweise werden zur Temperaturregelung in einem Batch-Reaktor sowohl eine elektrische Heizung als auch eine von einem Kühlmedium durchflossene Kühlschlange eingesetzt. Ein positives Stellsignal ist durch die Ansteuerung der Heizkerzen zu realisieren. Ein negatives Stellsignal hingegen bedeutet die Anforderung von Kühlung, sodass die Heizung auszuschalten und stattdessen ein Ventil zu öffnen ist, um das Kühlmedium freizugeben.
Störgrößenaufschaltung
Normalerweise sind Störungen ihrer Natur gemäß unbekannt. Liegt jedoch eine Messung oder Schätzung der Störung vor, so kann diese durch Aufschaltung im Regelkreis verwendet werden, um die Störunterdrückung zu verbessern.
Ein Beispiel für messbare Störungen ist die Außentemperatur in Raumtemperatur-Regelungen. Sie wird in Heizungen zur Anpassung der Vorlauftemperatur eingesetzt.
Regelkreise mit Vorsteuerung und Vorfilter
Einschleifige Standardregelkreise erlauben eine Optimierung des Verhaltens der Regelgröße entweder für das Führungs- oder Störverhalten. Diese Eigenschaft bezeichnet man mit einem „Freiheitsgrad“.
Durch Änderung der Regelkreisstruktur kann man beim Systementwurf z. B. durch eine Vorsteuerung oder einen Vorfilter eine Unabhängigkeit des Führungs- und Störverhaltens erreichen. Diese Eigenschaft bezeichnet man als einen Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden.
Ein Regelkreis mit einer Vorsteuerung erlaubt die Verbesserung des Führungsverhaltens mit folgenden Eigenschaften:
* Die Vorsteuerung beeinflusst nicht das Störverhalten.
* Sie hat keinen Einfluss auf die Kreisverstärkung und gefährdet damit nicht die Stabilität des Regelkreises.
* Die Vorsteuerung als Pole-Nullstellenkompensation der Regelstrecke hat in der Praxis nur Modellcharakter. Die Realisierung ist schwierig, weil die erforderlichen Differenzierglieder bei der Analog-Hardware-Lösung parasitäre Verzögerungen benötigt, bei der digitalen Software-Lösung sich sehr hohe Stellamplituden bilden. Beide Verfahren reduzieren den gewünschten Effekt. Abhilfe: Umrechnung in einen Vorfilter oder Aufteilen der Regelstrecke in mehrere Regelkreise (z. B. Kaskadenregelung).

Stabilität

Es existieren verschiedene Definitionen und Begriffe der Stabilität. Ein Übertragungssystem kann monoton oder oszillatorisch instabil sein. Ein falsch dimensionierter Regler kann in einem Regelkreis zur oszillatorischen Instabilität führen.

Interne Stabilität

Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises vorliegt:
Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Stabilität und die Geschwindigkeit der Systembewegung. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems.

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität)

Wenn die Hardware eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises oder eines genauen Modells mit dem Eingangs- und Ausgangssignal vorliegt:

Stabilität in Abhängigkeit von den Kenngrößen der Regeleinrichtung

Dazu gibt es eine Vielzahl von mathematischen und grafischen Verfahren.

|
* Stabilität im Regelkreis:

* Asymptotische Stabilität:

* Grenzstabilität:

* Instabilität

* Sonderfall: Kürzung instabiler Pole oder Nullstellen:

|}

Übersichtsdarstellung bekannter grafischer Stabilitätsverfahren

Die Übertragungsfunktion G(s) eines Übertragungssystems setzt lineare Teilsysteme voraus. Aus der Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises kann das Signalverhalten der Regelgröße für ein Test-Eingangssignal aus den Laplace-Transformationstafeln errechnet werden. In den meisten Anwendungen hat die Regelgröße als Sprungantwort ein aperiodisches Verhalten, was aufwendige trigonometrische Berechnungen erforderlich macht.
Bei einem geschlossenen Regelkreis ist die Eingangsgröße u(t) = w-y des Reglers und die Ausgangsgröße y(t) als Regelgröße unabhängig von der Systemordnung und Totzeitverhalten stets um einen nacheilenden Phasenverlauf von -180° verschoben, einen konstanten Sollwert und einen aperiodischen oder periodischen Signalverlauf der Regelgröße vorausgesetzt. Das liegt daran, dass von einem konstanten Sollwert die aperiodisch oder periodisch schwingende Regelgröße subtrahiert wird. Aus dieser Erkenntnis kann kein Stabilitätskriterium abgeleitet werden.
Wird der Regelkreis z. B. in der Rückführung aufgetrennt, lässt sich der Phasenverlauf zwischen einer variabel oszillierenden Eingangsgröße:

und der oszillierenden Ausgangsgröße y(t) messen. Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße y(t) ist um die Phasenverschiebung φ von der Eingangsgröße w(t) verschoben.

Eine Phasenverschiebung von φ < -180 Grad und eine Verstärkung > 1 führt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilität, wenn der Regelkreis geschlossen wird.
Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry Nyquist Stabilitätskriterien abgeleitet, die sich auf den offen Regelkreis beziehen und für die Schließbedingung des Regelkreises anzuwenden sind.
Die grafischen Stabilitätsverfahren dienen dem Verständnis von Teilgebieten der Systemtheorie, sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises, bei dem tabellarisch das innere Teil-Systemverhalten für jede Berechnungsfolge y(k·Δt) dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrößen für eine beliebige Eingangsgröße gezeigt wird.

Stabilitätsbedingung mit der Ortskurve des Frequenzgangs

Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile. Nach Nyquist lautet die Stabilitätsbedingung:
Wird beim Durchlaufen der Ortskurve des offenen Regelkreises Fo(jω) in Richtung steigender Werte von ω der kritische Punkt (-1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt, ist der geschlossene Regelkreis stabil.
Aus praktischen Erwägungen sollte der kritische Punkt (-1; j0) auf (-0,5; j0) verlegt werden, um eine gewisse Stabilitätsreserve zu erzielen.

Stabilitätsbedingung im Bode-Diagramm mit dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist

Im Gegensatz zur Ortskurve des Frequenzgangs werden beim Bode-Diagramm Betrag und Phasenwinkel in zwei getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Das Bode-Diagramm hat einen logarithmischen Maßstab. Beim Amplitudengang ist der Betrag F(jω) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse aufgetragen. Beim Phasengang ist der Phasenwinkel (linear) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse (logarithmisch) aufgetragen.
Die Vorteile dieses Verfahrens sind das unmittelbare Einzeichnen der Asymptoten als Geraden des Amplitudengangs, die bequeme Multiplikation durch logarithmische Addition, das direkte Ablesen der Zeitkonstanten und das schnelle Erkennen der Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei regulären Systemen ist der Phasengang aus dem Amplitudengang berechenbar und braucht nicht unbedingt gezeichnet zu werden.
Das Stabilitätskriterium ist aus dem Stabilitätskriterium von Nyquist abgeleitet:
Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K = 1 und φ > -180° beträgt.
Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird umso günstiger, je größer der Phasenabstand zu der -180°-Linie beträgt. Diesen Abstand, der oberhalb der –180°-Linie liegt, nennt man Phasenrand oder auch Phasenreserve und sollte bei etwa 50° ±10° liegen.
Das Nyquist-Stabilitätskriterium ist eines der wenigen Stabilitätskriterien, das auch für Systeme mit einer Totzeit benutzt werden kann.

Stabilität mit der Wurzelortskurve

Bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Regelkreises werden die Nullstellen des Nenners der rational gebrochenen Funktion anstatt mit Polen mit Wurzeln bezeichnet.
Die Wurzelortskurve (siehe auch Wurzelortskurvenverfahren) ist eine grafische Darstellung der Lage der Pol- und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion Fo(s) eines offenen Regelkreises. In Abhängigkeit von einem Parameter, meist von der Kreisverstärkung des offenen Regelkreises, lässt sich durch die Wurzelortskurve auf die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises schließen. Das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises ist von der Polverteilung abhängig, die wieder von der Wahl der Parameter des Reglers bestimmt wird.
Die graphische Darstellung erfolgt in der s-Ebene (s = ? + j·ω), der Realteil ? wird auf der Abszisse, der imaginäre Teil j·ω auf der Ordinate aufgetragen. Für die relativ aufwändige Konstruktion der Wurzelortskurve gibt es mehrere Regeln. Wenn alle Pole und Nullstellen in der linken Halbebene liegen (-)?, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein Pol oder mehrere Pole in der rechten Halbebene (+) ?, ist das System instabil.
Das Wurzelortsverfahren lässt sich nicht auf Systeme mit Totzeiten anwenden.

Bewertung bekannter Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf

Für eine realistische Regelstrecke bestehend aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit Systemen, die sich nicht mit linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen (Gewöhnliche Differentialgleichung) beschreiben lassen, ergeben sich für die Parametrierung der Regler folgende Einschränkungen für die angegebenen Stabilitätsverfahren.
Bezeichnungen der Übertragungssysteme:
* LZI = lineare zeitinvariante Systeme (Lineares zeitinvariantes System)
* LZV = lineare zeitvariante Systeme
* Tt = Totzeitglied (Totzeit (Regelungstechnik))
* Begrenzung eines Signals
* Nichtlineare Kennlinie (Nichtlineares System)
* MIMO = Mehrgrößensysteme, (MIMO: Multiple Input Multiple Output)
{| class="wikitable" style="width:1000px;"
|- class="hintergrundfarbe5"
! style="width:25%;"|Stabilitätsverfahren
für den Reglerentwurf
! style="width:7%;"|Zeit-
invarianz
! style="width:5%;"|Zeit-
varianz
! style="width:6%;"|Tot-
zeit
! style="width:7%;"|Begren-
zung
! style="width:7%;"|Nicht-
linear
! style="width:5%;"|MIMO
! style="width:100%;"|Bemerkungen
|-
| Stabilität nach Einstellanweisungen
(Ziegler-Nichols und andere) || ja || - || - || - || - || - || Für Grobeinstellung bedingt geeignet
|-
| Bode-Diagramm + Nyquist
|| ja || - || ja || - || - || - || Phasenrandempfehlung: ca. 50°
|-
| Ortskurve des Frequenzgangs
|| ja || - || ja || - || - || - || Kritischer Punkt: (-1; j0) Abstand
|-
| Hurwitz-Kriterium
|| ja || - || - || - || - || - || Alle Koeffizienten a müssen vorhanden sein und ein gleiches Vorzeichen haben. Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein.
|-
| Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium
|| ja || - || ja || - || - || - || Aus Übertragungsfunktion Go(s) wird bestimmt: np = Anzahl der Pole mit positivem Realteil, ni = Anzahl der Pole auf der imaginären Achse.
Winkeländerung Δφstab = π (np + ni/2) = stabil.
|-
| Wurzelortsverfahren
|| ja || - || - || - || - || - || Wurzelortskurve in linker s-Halbebene
|-
| Inverse Laplace-Transformation
|| ja || - || - || - || - || - || Geschlossener Verlauf Xa(t), aufwändige Berechnung
bei Schwingverhalten
|-
| Zustandsraum
Zustandsstabilität || ja || ja || 1) || ja || ja || ja || Gute mathematische Kenntnisse
erforderlich
|-
| Numerische zeitdiskrete Verfahren
käufliche Programme oder
Differenzengleichungen || ja || ja || ja || ja || ja || ja || Geschlossener Verlauf der Ausgangsgröße y(k·Δt)
k = Berechnungsfolge; Δt = diskretisierte Zeit
Systemparameter sind beliebig zu ändern
|}

Mathematische Modelle der Regelstrecken

Modelle beschreiben im Allgemeinen das zeitliche Verhalten dynamischer Systeme. Neben physikalischen materiellen Modellen (Beispiel: experimentelle Informationsgewinnung des Strömungsverhaltens eines Fahrzeugs im Windkanal, Modellschiffe im hydraulischen Kanal), die aufwendig und kostspielig sind, eignen sich besonders mathematische Systembeschreibungen für die Anwendung der Prozess-Simulation am Digitalrechner.
Die Vorteile der Prozess-Simulation sind bekannt, in weiten Grenzen sind Parameteränderungen möglich, zerstörungsfreie Untersuchungen möglich, relativ geringe Personalkosten,
Zur Modellgewinnung unterscheiden sich die Verfahren der theoretischen, analytischen und experimentellen Modelle.
Je nach Vollständigkeit der Kenntnisse der Modelle werden auch folgende Modellbegriffe verwendet:
* Black-Box-Modelle sind unbekannte Systeme, deren Art der Eingangs- und Ausgangsgrößen bekannt sind.
* Grey-Box-Modelle beschreiben meist Systeme deren Strukturen bekannt sind.

* White-Box-Modelle beschreiben meist Systeme, deren mathematisches Verhalten bekannt ist, deren Parameter noch bestimmt werden müssen.
Für die Analyse, Synthese und Regelung von realen Übertragungssystemen (Regelstrecken), die meist als ein Hardwaresystem vorliegen, ist ein mathematisches Modell des Systems erforderlich.
Modelle in Form von Differenzialgleichungen beschreiben das zeitliche Verhalten des Systems exakt. Sind diese Differenzialgleichungen oder zugehörigen Übertragungsfunktionen nicht gegeben, kann das zeitliche Verhalten eines Hardwaresystems durch experimentelle Identifizierungsmaßnahmen (Experimentelle Systemidentifikation) mit Hilfe von Testsignalen ermittelt werden.
Bei der prinzipiellen Vorgehensweise wird der Identifikationsalgorithmus für die Modellparameter solange verändert, bis für ein gegebenes Eingangssignal u(t) die Differenz der Ausgangsgrößen y(t) - y_Modell(t) innerhalb eines beliebigen Zeitablaufs des gemessenen Originalausgangs mit dem Modellausgang annäherungsweise verschwindet.
Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.
Die Aufgabe eines mathematischen Modells eines realen dynamischen Prozesses oder eines noch zu projektierenden technischen Prozesses dient dem Erkennen und der Vorhersage des Systemverhaltens.
Das mathematische Modell eines Regelkreises beschreibt alle äußeren Einflussgrößen wie Störgrößen und Eingangssignale auf den geschlossenen Wirkungsablauf des Regelkreises. Das Verhalten der Ausgangsgrößen wie die Regelgrößen sowie auch interessante Zwischengrößen (Stellgrößen) als Funktion der Eingangssignale und der Parameter von Regler und Regelstrecke sind von besonderem Interesse.
Je nach Lastenheft der regelungstechnischen Aufgabenstellung ist für die Bestimmung eines geeigneten Reglers das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich.
In den meisten Anwendungsfällen haben Übertragungssysteme (Regelstrecken) auch nichtlineare Komponenten und sind totzeitbehaftet. Für solche Systeme wird experimentell durch geeignete Testsignale die Systemantwort aufgezeichnet und ein mathematisches Modell gesucht, das den gemessenen Verlauf der Ausgangsgröße y(t) reproduziert (= Experimentelle Prozessanalyse). Ein derartig definiertes Modell ist durch Anwendung numerischer Verfahren einfach berechenbar. Sind nichtlineare Teilsysteme im Gesamtsystem enthalten, müssen diese getrennt erfasst und durch Wertetabellen definiert werden.
* Global-proportionale zeitinvariante Regelstrecken höherer Ordnung mit Totzeit lassen sich relativ genau durch zwei PT1-Glieder und einem Tt-Glied beschreiben.

Falls die Darstellung der transzendenten Funktion des Totzeitgliedes mit dem Rechenprogramm Probleme bereitet, kann die dargestellte Modellgleichung auch praktisch identisch durch eine sehr gute Annäherung mit Ersatztotzeiten durch z. B. n = 3 PT1-Glieder wie folgt dargestellt werden:

* Global-integrale zeitinvariante Regelstrecken lassen sich ebenso durch zwei PT1-Glieder, einem I-Glied und einem Tt-Glied beschreiben.

Zum Modellverständnis eines dynamischen Systems müssen die wichtigsten Begriffe der inneren Systemspeicher verstanden werden.

Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke

Eine reale Regelstrecke lässt sich durch die Sprungantwort der Regelstrecke, durch die Impulsantwort der Regelstrecke oder auch durch Einspeisung einer variablen Frequenz identifizieren.
Wichtigste Merkmale für die Anwendung einer Modellregelstrecke mit Hilfe der Sprung- oder Impulsantwort sind:
* Die Parameter einer Regelstrecke können mittels einer einfachen Modellregelstrecke ermittelt werden, indem die Kennlinie des Modells durch schrittweises Ändern der Zeitkonstanten des Modells auf die Kennlinie der unbekannten Regelstrecke angepasst wird.
* Das Modell muss ähnliche Streckeneigenschaften aufweisen, wie die unbekannte Regelstrecke.

* Die Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Sprungantwort ist relativ einfach und kann evtl. auch grafisch durchgeführt werden.
* Das Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Impulsantwort ist etwas aufwendiger, bietet aber bei Deckungsgleichheit der Kennlinien eine völlige Übereinstimmung zwischen Original und Modell in einem Regelkreis im Vergleich mit den jeweiligen Sprungantworten. Mit diesem Modell lässt sich auch die Ordnung des Originals feststellen.
* Es sollte einfach zu realisieren sein.

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Sprungantwort

Die Sprungantwort hat den Vorteil der einfacheren Durchführung und des höheren Bekanntheitsgrades des zu erwartenden Ergebnisses. Die zeitunabhängige Streckenverstärkung Ks kann bei Regelstrecken mit Ausgleich im statischen Zustand direkt abgelesen werden.
Folgende Anforderungen werden an die Modellregelstrecke für eine Regelstrecke mit Ausgleich gestellt:
* Die Sprungantwort der Modellregelstrecke soll weitgehend deckungsgleich mit der Originalregelstrecke sein.
* Die Modellregelstrecke soll eine bestimmte Form der Übertragungsfunktion aufweisen, die sich mit einem guten linearen Standardregler – bspw. einem PID-Regler – leicht für eine Parametrierung des Reglers eignet.
* Das Verfahren soll für Regelstrecken ab 2. Ordnung mit und ohne Totzeit anwendbar sein.

Zeit-Prozentkennwert-Verfahren (Schwarze)

Mit der Methode des „Zeit-Prozent-Verfahrens“ wird zum Beispiel eine Modellstrecke ermittelt, die mit gleichen Zeitkonstanten je nach Streckenkonstanten beliebiger Ordnung tatsächlich eine gute Annäherung an die reale Sprungantwort bietet. (Zeitschrift Automatisierungstechnik 1993 von Latzel)
Für eine gegebene Sprungantwort einer nicht schwingenden Regelstrecke werden von den Amplitudenwerten Xa von 10 %, 50 % und 90 % der Maximalamplitude im Beharrungszustand die zugehörigen Zeitwerte T10, T50 und T90 erfasst und daraus eine Modell-Übertragungsfunktion aus n gleichen Verzögerungsgliedern gebildet.

Heuristische Einstellregeln für einfache Regelungen

Die von Ziegler-Nichols bereits in den 1940er Jahren experimentell durchgeführten Einstellregeln beziehen sich auf die Sprungantwort einer Regelstrecke und definieren sie durch Anlegen einer Tangente am Wendepunkt als Strecke mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied.
1952 wurden von Chien, Hrones und Reswick die Einstellregeln (Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)) erweitert für aperiodisches Verhalten der Sprungantworten der Regelgröße und für gedämpft schwingendes Verhalten mit 20 % Überschwingungen. Zusätzlich erfolgt für beide Gruppen noch die Aufteilung in Führungsverhalten und Störverhalten. Diese Einstellregeln werden gelegentlich auch mit Faustformeln bezeichnet.
Es wird eine Regelstrecke 4. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion betrachtet:

Mit dem Anlegen der Tangente an die Übergangsfunktion der angegebenen Übertragungsfunktion ergeben sich die Kennwerte:
* Ersatztotzeit: T_U = 0,94 s
* Ersatzzeitkonstante: Tg = 5,4 s
Für diese Kennwerte werden anhand von Tabellen die Parameter der linearen Standardregler bestimmt. Aus diesen Kennwerten lässt sich keine Ersatzübertragungsfunktion bestimmen.
Durch die numerische Berechnung lässt sich experimentell zu der Übergangsfunktion der oben dargestellten (in praxi unbekannten) Übertragungsfunktion ein Ersatzstreckenmodell bestehend aus einem PT1-Glied und einem Eratztotzeitglied der einfachsten Form finden:

oder ein sehr genaues Modell durch zwei gleiche PT1-Glieder mit Ersatztotzeit der Form:

Lastenheft für ein Regelsystem

Für eine anspruchsvolle Regelung – jenseits des Probierverfahrens – ist für die Bestimmung des Reglers neben der Kenntnis des mathematischen Modells der Regelstrecke ein Lastenheft für das Verhalten des Regelkreises erforderlich.
Folgende Kenntnisse der Eigenschaften der Regelstrecke bzw. eines Modells sind erforderlich:
* Liegen Signalbegrenzungen im Übertragungssystem vor, z. B. wenn man die erforderliche gerätetechnische Stellgrößeneinrichtung des Reglers in die Regelstrecke einbezieht
* Ist eine Totzeit im System vorhanden
* Hat die Regelstrecke grenzwertstabile Komponenten (I-Glieder)
* Enthält das Übertragungssystem gedämpft schwingende Komponenten, d.  h. konjugiert komplexe Pole?
* Sind neben den LZI-Systemen nichtlineare Anteile (nichtlineare Kennlinie) im Übertragungssystem enthalten
* Enthält das Übertragungssystem instabile Komponenten, d.  h. die Regelstrecke ist instabil?
* Hat die Regelstrecke mehrere Eingangs- und Ausgangsgrößen, d.  h. Einschleifensystem (SISO)- oder Mehrgrößensystem (MIMO).
Folgende Beschreibung der Signale und des Verhaltens der Regelgröße im Regelkreis sind notwendig:
* Groß- und Kleinsignalverhalten des Einschwingens der Regelgröße auf den Sollwert.

* Art des Einschwingverhaltens der Regelgröße,
* Gütekriterien: asymptotisch, überschwingend, Dämpfung, Überschwingweite, Anregel- und Ausregelzeit, stationäre Regelabweichung, Langzeittoleranz
* Einfluss, Art und Angriffspunkt der Störgröße z. B. auf den Eingang oder Ausgang der Regelstrecke
* Folgeverhalten der Regelgröße nach einer definierten Führungsgröße
* Optimierung des Führungs- oder des Störverhaltens
* Genügt ein angenähertes Modell der Regelstrecke
* Sind für eine besondere Regelstrecke Spezialregler erforderlich, z. B. Kompensation der Störgröße, Kompensation der Totzeit, Vorsteuerungen zur Vermeidung von Folgefehlern, Regler für Mehrgrößensysteme,
* Welcher Einfluss der inneren Störgrößen der Hardware (alterungsbedingter Einfluss der Bauteile, Drift, Hysterese, Reibungseffekte usw.) ist in der gesamten Regeleinrichtung zugelassen.

Regler im Produktionseinsatz

Zur Realisierung eines Regelkreises muss der entworfene Regler physikalisch realisiert werden. Hierzu können Analogrechner, digitale Kompaktregler oder Soft-Regler in einer geeigneten Speicherprogrammierbaren Steuerung eingesetzt werden. Siehe auch Artikel Regler, sowie.111213
Je nach Aufbau und Einsatzzweck lassen sich unterscheiden:
; Industrieregler: Maschinennahe Einzelregler für Kleinanlagen mit eigenem Mikroprozessor
; Prozessregelgeräte: Erweiterbare Industrieregler mit Schnittstelle zu übergelagertem (Leit-)System
; Universalregler: Prozessregler in Form von Erweiterungskarten oder Software-Regelbausteinen für programmierbare Steuerungen
; Branchenregler: Spezielle Prozessregler, die für bestimmte Anwendungsgebiete optimiert sind

Rapid Prototyping in Forschung und Entwicklung

In der Forschung und Entwicklung entsteht regelmäßig das Problem, neue Regelungskonzepte zu testen. Die wichtigsten Software-Werkzeuge für rechnergestützte Analyse, Entwurf und Rapid Control Prototyping von Regelungen sind nachfolgend aufgeführt.
; MATLAB und Simulink, The MathWorks: Durch zahlreiche Toolboxes ein sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik, für Simulation, Systemidentifikation, Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping geeignet (kommerziell)
; Scilab, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA): Ebenfalls sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik mit ähnlichem Konzept und ähnlicher Syntax wie MATLAB, für Simulation, Systemidentifikation und Rapid Control Prototyping geeignet (frei)
; CAMeL-View TestRig: Entwicklungsumgebung zur Modellbildung von physikalischen Systemen mit dem Schwerpunkt Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping sowie zur Anbindung an Versuchsstände (kommerziell)
; Maple: Computeralgebra-System, beherrscht numerische und symbolische Mathematik, besonders für manche Entwurfsverfahren der nichtlinearen Regelung geeignet (kommerziell)
; Mathematica, Wolfram Research, Inc.: Umfangreiches Softwarepaket für numerische und symbolische Mathematik (kommerziell)
; dSPACE: Integrierte Hard- und Software-Lösungen für die Anbindung von MATLAB an Versuchsstände (kommerziell)
; LabVIEW, National Instruments (NI): Integrierte Hard- und Software-Lösungen für die Rechnersteuerung von Versuchsständen (kommerziell)
; ExpertControl: Software-Lösungen für vollautomatische Systemidentifikation und vollautomatische, modellbasierte Reglerauslegung für klassische Reglerstrukturen (PID-Regler) sowie Reglerstrukturen für Systeme höherer Ordnung (kommerziell)
; TPT: Systematisches Testwerkzeug für Regelungssysteme, das neben der Simulation auch eine Ergebnisauswertung und Analysemöglichkeit bietet.
Alle aufgeführten Werkzeuge zeigen ein hohes Maß an Flexibilität bezüglich der Anwendung und der verwendbaren Reglerstrukturen.

Technische Anwendungen

; Bahntechnik: In der Antriebsregelung treten vielfältige Regelungsprobleme auf, es sind beispielsweise Drehmoment und Geschwindigkeit zu regeln. An der U-Bahn Sendai wurde die Fuzzy-Regelung erfolgreich eingesetzt.
; Luftfahrt: Regelungsprobleme treten in zahlreichen Komponenten von Flugzeugen auf, etwa in den Turbinen, aber auch bezogen auf die Flugdynamik. Beispiele für flugdynamische Regelungsprobleme sind die Kontrolle der Roll-, Gier-, und Nickwinkel, sowie der Autopilot. Siehe auch Flugsteuerung.
; Energietechnik: Stellungsregelung eines Stellventils mit Stellantrieb innerhalb einer Reglerkaskade. In Elektroenergienetzen sind Spannung und Frequenz netzweit zu halten. In jedem Kraftwerk werden Spannung und Frequenz lokal geregelt, so dass die Aufgabe mit dezentralen Reglern durch Variation der Regelleistung gelöst wird (siehe auch Kraftwerksmanagement). Global werden lediglich die Leistungssollwerte der einzelnen Kraftwerke vorgegeben. Die Drehzahlregelung einer Dampfmaschine mit Fliehkraftregelung ist ein klassischer Anwendungsfall.
; Kraftfahrzeugtechnik: Tempomat und Antiblockiersystem (ABS), aber auch elektronisches Stabilitätsprogramm sind bekannte Regelungen im Fahrzeugbereich, die auch als Fahrerassistenzsysteme bezeichnet werden. Auch Verbrennungsmotoren beinhalten vielfältige Regelkreise, beispielsweise für Leerlaufdrehzahl, Luftverhältnis (siehe auch Lambdasonde), Klopfregelung (siehe auch Klopfen (Verbrennungsmotor)). Moderne automatische Schaltgetriebe benötigen ebenfalls Regelkreise für die Synchronisation beim Schalten.
; Pipeline: In Pipelines kommen vor allem vermaschte Regelungen vor, für Durchfluss, Druckregelung (Vordruck, Nachdruck) und Stellungsregelung einschließlich Grenzwertregelung.
; Robotik: In der Fertigungsautomatisierung sind die Achsen der Fertigungsroboter zu positionieren. Hier spielen eine schnelle Beruhigungszeit und geringstes Überschwingen eine besonders große Rolle.
; Verfahrenstechnik: In verfahrenstechnischen Prozessen treten Regelungsprobleme für jegliche chemische und physikalische Größen auf, die im betrachteten Prozess eine Rolle spielen. Beispiele sind die Regelung von Füllstand, Temperatur, pH-Wert und Sauerstoffgehalt eines Rührkessel-Reaktors oder das Konstanthalten von Stoff- bzw. Ionenkonzentrationen mit einem Chemostat.
; Wasserwirtschaft: Zur Vermeidung von Überschwemmungen und Sicherung der Wasserversorgung sind unterlagerte Regelungen von Ketten von Talsperren bedeutsam. Der Füllstand eines einzelnen Stausees wird von einem übergeordneten Management vorgegeben und lokal geregelt.

Berufsverbände mit Bezug zur Regelungstechnik

Deutschland:
* Gesellschaft Mess- und Automatisierungstechnik (GMA) des VDI/VDE
International:
* International Federation of Automatic Control (IFAC)
* Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

Siehe auch

*
*
* Control in the Field
* Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)
* Modellprädiktive Regelung
* Fehlertolerantes Regelsystem
* Adaptive Regelung
* Optimale Regelung

Literatur

* Otto Föllinger. Regelungstechnik. [Ohne Ort]. Hüthig Verlag. [Ohne Jahr]. ISBN 3-7785-2336-8.
* Martin Horn, Nicolaos Dourdoumas. Regelungstechnik. [Ohne Ort]. Pearson Studium. 2006. ISBN 3-8273-7260-7.
* Rolf Isermann. Identifikation dynamischer Systeme. [Ohne Ort]. Springer Verlag. 1992. ISBN 3-540-55468-8.
* Lennart Ljung. System Identification - Theory for the User. [Ohne Ort]. Prentice Hall. [Ohne Jahr]. ISBN 0-13-656695-2.
* Jan Lunze. Regelungstechnik 1 (6). Berlin. Springer Verlag. 2007. ISBN 978-3-540-70790-5. [N.N.]. Regelungstechnik 2 (4). Berlin. Springer Verlag. 2006. ISBN 978-3-540-32335-8.
* Holger Lutz, Wolfgang Wendt. Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink (9.). [Ohne Ort]. Verlag Harri Deutsch. 2012. ISBN 978-3-8171-1895-3.
* Heinz Mann, Horst Schiffelgen, Rainer Froriep,. Einführung in die Regelungstechnik. München. Carl Hanser Verlag. 2009. ISBN 978-3-446-41765-6.
* Winfried Oppelt. Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge (5.). Weinheim. Verlag Chemie. 1972. ISBN 3-527-25347-5.
* Kurt Reinschke. Lineare Steuerungs- und Regelungstheorie. Dresden. Springer Verlag. 2005. ISBN 3-540-21886-6.
* Gerd Schulz. Regelungstechnik. [Ohne Ort]. Oldenbourg Verlag. 2002. ISBN 3-486-25858-3.
* Karl-Dieter Tieste. Keine Panik vor Regelungstechnik. [Ohne Ort]. Vieweg Verlag. 2011. ISBN 978-3-8348-0850-9.
* Heinz Unbehauen. Regelungstechnik. Braunschweig. Vieweg. 2005. ISBN 3-528-93332-1. [N.N.]. Regelungstechnik. Braunschweig. Vieweg. 2000. ISBN 3-528-73348-9.
* Josef Uphaus. Regelungstechnik. [Ohne Ort]. Bildungsverlag Eins. 2005. ISBN 3-427-44510-0.
* samson.de (Hrsg.): Begriffe und Symbole der Regelungstechnik. , [Ohne Jahr]
* Jürgen Adamy. Nichtlineare Regelungen. Berlin. Springer Verlag. 2009. ISBN 978-3-642-00793-4.
* Werner Kriesel, Hans Rohr, Andreas Koch: Geschichte und Zukunft der Mess- und Automatisierungstechnik. VDI-Verlag, Düsseldorf 1995, ISBN 3-18-150047-X.
Zeitschriften und Journale:
* VDI/VDE-GMA, NAMUR (Interessengemeinschaft Prozessleittechnik der chemischen und pharmazeutischen Industrie) (Hrsg.): at – Automatisierungstechnik. , 1953ff Titel=atp – Automatisierungstechnische Praxis | Verlag= | Ort=München | ISSN=0178-2320 Titel=atpi – Automation Technology in Practice | Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag | Originalsprache=engl. | Online= [http://www.oldenbourg-industrieverlag.de/index.php weblink]
* Titel=MSR-Magazin. Zeitschrift für Messen, Steuern, Regeln | Verlag=Verlag für Technik & Wirtschaft VTW | Online=[http://www.industrie-service.de/?name=%2Fmagazine%2Fmsr-magazin#%2Fmagazine%2Fmsr-magazin industrie-service.de], [http://www.vf-mediengruppe.de/ VTW]
* Titel=International Journal of Control | Verlag=Taylor & Francis | Originalsprache=engl. | Online= [http://www.tandf.co.uk/journals/titles/00207179.asp tandf.co.uk]
* IFAC (Hrsg.): Automatica. , [Ohne Jahr]
* Titel=European Journal of Control | Verlag=hermes Science | Originalsprache= | Online= [http://www.elet.polimi.it/ejc/ elet. polimi.it], [http://www.editions-hermes.fr/ editions-hermes.fr]
* Institution of Engineering and Technology (IET) (Hrsg.): IEE Proceedings - Control Theory & Applications. , [Ohne Jahr]
* Norwegian Society of Automatic Control (Hrsg.): Modeling, Identification and Control. , [Ohne Jahr]
* Wroclaw University of Technology (Hrsg.): Systems Science. , [Ohne Jahr]
* IEEE Control Systems Society (CSS) (Hrsg.): IEEE Control Systems Magazine. , [Ohne Jahr] [Ohne Hrsg.]: IEEE Transactions on Automatic Control. , [Ohne Jahr] [Ohne Hrsg.]: IEEE Transactions on Control Systems Technology. , [Ohne Jahr]
* ASME American Society Of Mechanical Engineers (Hrsg.): Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. , [Ohne Jahr]

Weblinks

* [http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/w34c.html Regelungstechnische Institute in Deutschland]
* [http://www.roboternetz.de/wissen/index.php/Regelungstechnik RoboterNetz Regelungstechnik]

Einzelnachweise